［初中数学竞赛讲座］平面三角

竞赛讲座13-平面三角三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用.同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一.一、三角函数的性质及应用三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等.这里以单调性为最难.它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用.【例1】求函数y=2sin(-2x)的单调增区间。解：y=2sin(-2x)=2sin(2x+)。由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ-≤x≤kπ-，k∈Z。即原函数的单调增区间为：[kπ-，kπ-](k∈Z)。【例2】若φ∈(0，)，比较sin(cosφ)，cos(sinφ)，cosφ这三者之间的大小。解：∵在(0，)中，sinxXTGX，而0COSX1pcosφ。，∴sin(cosφ)∵在(0，)中，y=cosx单调递减，∴cosφcos(sinφ)。∴sin(cosφ)cosφcos(sinφ)。【例3】已知x,y∈[-，]，a∈R，且。求cos(x+2y)的值。解：原方程组化为。∵x,-2y∈[-，]，函数f(t)=t3+sint在[-，]上单调递增，且f(x)=f(-2y)∴x=2y，∴cos(x+2y)=1。【例4】求证：在区间(0，)内存在唯一的两个数c、d(c证明：考虑函数f(x)=cos(sinx)-x，在区间[0，]内是单调递减的，并且连续，由于f(0)=cos(sin0)-0=10，f()=cos(sin)-=cos1-0，∴存在唯一的d∈(0，)，使f(d)=0，即cos(sind)=d.对上式两边取正弦，并令c=sind，有sin(cos(sind))=sind，sin(cosc)=c。显然c∈(0，)。且由y=sinx在(0，)上的单调性和d的唯一性，知c也唯一。故存在唯一的cD，使命题成立。p【例5】α、β、γ∈(0，)，且ctgα=α，sin(ctgβ)=β，ctg(sinγ)=γ。比较α、β、γ的大小。解：∵α、β、γ∈(0，)，∴ctgβ0，0sinγγ。∴β=sin(ctgβ)ctgβ，γ=ctg(sinγ)ctgγ。作出函数y=ctgx在(0，)上的图象，可看出：βαγ。【例6】n∈N，n≥2，求证：cos·cos·····cos。证明：∵0···1，∴01-=，k=2，3，…，n。∴(cos·cos·····cos)2(·)·(·)·(·)···(·)=·()2，∴cos·cos·····cos。二、三角恒等变换众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换，除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三角式的结构特征，从角和函数名入手，深入分析，灵活解题。【例1】(1)已知cosβ=-，sin(α+β)=，且0αβπ，求sinα的值。(2)已知sin(-α)=，求的值。提示：(1)sinα=。(2)sin2α=1-2sin2(-α)=;=。【说明】三角变换重在角的变换。【例2】求coscoscos…cos的值。解法1：利用公式cosθcos2θcos4θ···cos2nθ=，得coscoscoscos=-，∴coscoscoscos=。又coscos=，cos=，∴coscoscos…cos=××=。解法2：coscoscos…cos=·······==。解法3：利用公式cosαcos(+α)cos(-α)=cos3α，取α=、。【例3】求cos420°+cos440°+cos480°的值。解：由倍角公式得cos4θ=()2=(1+2cos2θ+cos22θ)=+cos2θ+cos4θ，∴cos420°+cos440°+cos480°=×3+(cos40°+cos80°+cos160°)+(cos80°+cos160°+cos320°)=+(cos40°+cos80°+cos160°)=+(2cos60°cos20°-cos20°)=。【例4】若sinα+cosβ=，cosα+sinβ=，求sinαcosβ的值。解：令θ=-β，则(1)÷(2)得tg=，cos(α+θ)=，∴sinαcosβ=sinαsinθ=-[cos(α+θ)+cos(α-θ)]=-。【例5】已知f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，0θπ，求θ。解法一：由偶函数的定义，可得(cosθ+sinθ)sinx=0对任意x∈R成立。∴cosθ+sinθ=0，2sin(θ+)=0，∴θ+=kπ，而0θπ，∴θ=。解法二：由f(-)=f()，得θ=，然后验证f(x)是偶函数。【例7】方程sinx+cosx+a=0在(0，2π)内有相异两根α、β，求实数a的取值范围，以及α+β的值。解：∵sinx+cosx+a=0，∴sin(x+)=-。令t=x+，则t∈(，)，sint=-。作出函数y=sint，t∈(,)的图象：由图象可以看出：当-1-1且-≠即-2A-p有相异两根t1、t2，原方程有相异两根α、β，并且a当-2A-p;)=π，α+β=)+(β+时，t1+t2=(α+当-A【例8】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。解：由已知得，(1)2+(2)2得cos(x-y)=-，同理，cos(y-z)=-，cos(z-x)=-。∴x，y，z中任意两角的终边夹角为，不妨设x=y++2mπ,m∈Z，y=z++2nπ,n∈Z，∴x=z++2(m+n)π，x+y+z=3z+2(m+2n+1)π，∴s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz=tg3z+tg(z+)tg(z+)tgz=tg3z+tg(z+)tg(z-)tgz=tg3z+tgztg(+z)tg(-z)=0。【说明】如能熟练运用下列公式，可对解题带来很大方便：sinαsin(+α)sin(-α)=sin3α，cosαcos(+α)cos(-α)=cos3α，tgαtg(+α)tg(-α)=tg3α。如sin10°sin50°sin70°=sin(3×10°)=。