［初中数学竞赛讲座］代数式的变形(整式与分式)

竞赛讲座(28)-代数式的变形(整式与分式)在化简、求值、证明恒等式(不等式)、解方程(不等式)的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.1.配方在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.例1(1986年全国初中竞赛题)设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.解mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或(ac-bd)2+(ad+bc)2.例2(1984年重庆初中竞赛题)设x、y、z为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.解将条件化简成2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0∴(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0∴x=y=z,∴原式=1.2.因式分解前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.例3(1987年北京初二数学竞赛题)如果a是x2-3x+1=0的根,试求的值.解∵a为x2-3x+1=0的根,∴a2-3a+1=0,,且=1.原式说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.3.换元换元使复杂的问题变得简洁明了.例4设a+b+c=3m,求证:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.证明令p=m-a,q=m-b,r=m-c则p+q+r=0.P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0∴p3+q3+r3-3pqr=0即(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0例5(民主德国竞赛试题)若,试比较A、B的大小.解设则.∵2xy∴2x-y0,又y0,可知∴AB.4.设参当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.例6若求x+y+z的值.解令则有x=k(a-b),y=(b-c)kz=(c-a)k,∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.例7已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1,,求a+b+c的值.解设a+b+c=k则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.由条件知即∴a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,∴(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.∵a2+b2+c2=1,∴k=a3+b3+c3-3abc=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc=(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c),=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),∴k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),∴k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,∴k(-ab-bc-ac)=0.若K=0,就是a+b+c=0.若-ab-bc-ac=0,即(a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0,∴(a+b+c)2=1,∴a+b+c=±1综上知a+b+c=0或a+b+c=±15.“拆”、“并”和通分下面重点介绍分式的变形：(1)分离分式为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.例8(第1届国际数学竞赛试题)证明对于任意自然数n，分数皆不可约.,证明如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.而显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约.(2)表示成部分分式将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.例9设n为正整数，求证：①②证明令通分，比较①、②两式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=.∴令k=1,2,…,n得(3)通分通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.例10(1986年冬令营赛前训练题)已知求证:.证明6.其他变形例11(1985年全国初中竞赛题)已知x(x≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算(可用括号)，经过六步算出x2.那么计算的表达式是______.解x2=x(x+1)-x或x2=x(x-1)+x例12(第3届美国中学生数学竞赛题)设a、b、c、d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.解由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)解得x=3.y=10.∴d-b=y3-x5=757练习七1选择题(1)(第34届美国数学竞赛题)把相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是()(A)2(B)3(C)6(D)7(E)8(3)已知则的值是().(A)1(B)0(C)-1(D)3(3)(第37届美国中学数学竞赛题)假定x和y是正数并且成反比，若x增加了p%，则y减少了().(A)p%(B)%(C)%(D)%(E)%2填空题(1)(x-3)5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=________,b+c+d+e=_______.(2)若=_____.(3)已知y1=2x,y2=,则y1y1986=______3若(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0,试求x+z与y的关系.4(1985年宁夏初中数学竞赛题)把写成两个因式的积,使它们的和为，求这两个式子.5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值.6.已知x,y,z为互不相等的三个数,求证7已知a2+c2=2b2,求证8.设有多项式f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求证:如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd.练习七1.C.C.E2.(1)-32,210(2)(3)23.略.4.5.6.略,7.略.8.∵p2-4q-4(m+1)=0,∴4q=p2-4(m+1)=0,∴f(x)=4x4-4px3+[p2-4(m+1)]x2+2p·(m+1)x+(m+1)2=4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x=[2x2-px-(m+1)]2.9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),展开整理得cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0,即(cp-bq)(dp-aq)=0.于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d).均可得出ac=bd.