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数学竞赛训练题四一.选择题1.设全集=，，，则等于A.B.C.D.2.的展开式中，含有的正整数次幂的项共有A.4项B.3项C.2项D.1项3.高三(10)班甲、乙两位同学6次数学测试的成绩如下表：123456甲122120125116120117乙118125120122115120仅从这6次考试成绩来看，甲、乙两位同学数学成绩稳定的情况是A.甲稳定B.乙稳定C.甲与乙一样稳定D.不能确定4.设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分不必要条件是A.B.C.D.5.在中，已知，则A..B..C.D.6.已知定义在R上的函数满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有②对于任意的，都有③的图象关于y轴对称.则下列结论中，正确的是A.B.C.D.7.A、B、C、D、E五个人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则B不住2号房间，且B，C两人要住编号相邻房间的住法种数为A.24B.36C.48D.608.椭圆的中心、右焦点、右顶点、右准线与轴的交点依次为O、F、A、H，则的最小值为A.2B.3C.4D.不能确定9.某学校的生物实验室里有一个鱼缸，里面有12条大小差不多的金鱼，8条红色，4条黑色，实验员每次都是随机的从鱼缸中有放回的捞取1条金鱼.若该实验员每周一、二、三3天有课，且每天上、下午各一节，每节课需要捞一条金鱼使用，用过放回.则该实验员在本周有课的这三天中，星期一上、下午所捞到的两条金鱼为同色，且至少有一天捞到不同的颜色金鱼的概率是A.B.C.D.10.设方程的两根为，()，则A.B.C.D.二、填空题11.在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的周长为▲.12.已知函数的图象与直线的交点中最近的两点间的距离为，则函数的最小正周期等于▲13.球O上两点A、B间的球面距离为，有一个内角为，则此球的体积是▲.14.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则其离心率为▲.15.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为▲.16.已知函数()，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2.定义是函数的值域中的元素个数，数列的前n项和为，则满足的最大正整数n=▲.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.中，角A、B、C所对的边分别为、、，已知(1)求的值;(2)求的面积。18.已知,点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足，。(1)当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程;(2)设为轨迹上两点，，，，若存在实数，使，且，求的值。19.如图，已知正三棱柱中，，，三棱锥中，，且。(1)求证：;(2)求二面角的大小;(3)求点到平面的距离。20.设函数，已知，且(a∈R，且a≠0)，函数(b∈R，c为正整数)有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。(1)试求a、b的值;(2)若时，函数的图象恒在函数图象的下方，求正整数的值。21.已知数列{an}满足，，，为正数.(1)若对恒成立，求m的取值范围;(2)是否存在，使得对任意正整数都有?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由。数学竞赛训练题五答案一、选择题：(每小题5分，共50分)题号12345678910答案CBADDABCCD二、填空题：(每小题5分，共30分)11.;12.;13.;14.2或;15.;16.9.三、解答题：(5大题，共70分)17.(1)由，得------------3分为锐角，，-------5分--------------------------6分(2)---8分又，，得，--------------------------10分--------------------------12分(若通过得出，求出，未舍去，得两解，扣2分.)18.(1)设点，由得，，由，得，------------------------4分即.---------------------6分(2)由(1)知为抛物线：的焦点，为过焦点的直线与的两个交点.①当直线斜率不存在时，得，，.---8分②当直线斜率存在且不为0时，设，代入得.设，则，得，----12分(或)，此时，由得。---------------14分19.解法一：(1)在中，，，∴，取中点，，，在中，，，又均为锐角，∴，---------------2分，又外，.---------------4分(2)∵平面平面，∴，过作于，连结，则，为二面角的平面角，------------------------6分易知=，∴，二面角的大小为.------------------------9分(其它等价答案给同样的得分)(3)，点到平面的距离，就是到平面的距离，-------------------------------11分过作于，则，的长度即为所求，由上(或用等体积求)----------------------------------14分解法二：如图，建立图示空间直角坐标系.则，，，，.(1)(2)利用，其中分别为两个半平面的法向量，或利用求解.(3)利用，其中为平面的法向量。20.(1)，∴①又，∴，即②由①②得，.又时，①、②不成立，故.------2分∴，设x1、x2是函数的两个极值点，则x1、x2是方程=0的两个根，，∴x1+x2=，又∵A、O、B三点共线，=，∴=0，又∵x1≠x2，∴b=x1+x2=，∴b=0.----------------6分(2)时，，-----------------------7分由得，可知在上单调递增，在上单调递减，.---------------------9分①由得的值为1或2.(∵为正整数)-----------------11分②时，记在上切线斜率为2的切点的横坐标为，则由得，依题意得，得与矛盾.(或构造函数在上恒正)综上，所求的值为1或2.-----------------------14分21.(1)∵为正数，①，=1，∴0(n∈N*)，………1分又②，①—②两式相减得，∴与同号，---------------------4分∴对n∈N*恒成立的充要条件是0.---------------------7分由=0，得7.---------------------8分(2)证法1：假设存在，使得对任意正整数都有.则，则17.--------------------9分另一方面，==，---------11分∴，，……，，∴，∴=，①--------------------------------14分当m16时，由①知，，不可能使对任意正整数n恒成立，--------------------------------15分∴m≤16，这与17矛盾，故不存在m，使得对任意正整数n都有.--------------------------------16分(2)证法2：假设存在m，使得对任意正整数n都有.则，则17.--------------------9分另一方面，，------------------11分∴，，……，，∴，①-----------------14分当m16时，由①知，，不可能使对任意正整数恒成立，--------------------------15分∴m≤16，这与17矛盾，故不存在m，使得对任意正整数n都有。-----------------------------16分