第七届“锐丰杯”初中数学邀请赛试题及答案

智浪教育-普惠英才第1页共7页PBCADABCDA1C1B1D1第七届“锐丰杯”初中数学邀请赛试题(满分150分)一．选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分，每题有且只有一个答案）1．化简23215215得（）A215B215C5D352．如图，已知P是正方形ABCD内一点，PBC是等边三角形，若PAD的外接圆半径为a，则正方形ABCD边长为（）A．12aB．32aC．aD．2a3．函数277ykxx的图像和x轴有交点，则kA．74kB．74kC．74k且0kD．74k且0k4．对于一个正整数n，若能找到正整数,ab使得nabab，则称n为一个“好数”，例如：31111，则3就是一个“好数”，那么从1到20这20个正整数中“好数”有()．A8个B10个C12个D13个5．凸四边形ABCD的四个顶点满足：每一个顶点到其他三个顶点距离之积都相等。则四边形ABCD一定是（）A正方形B菱形C等腰梯形D矩形6.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，一蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到C1点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为（）（A）14（B）32（C）25（D）26学校准考证号姓名……………..………….密………………..…………….封……………………………..线…………………….座位号智浪教育-普惠英才第2页共7页PNMFEDCBA二．填空题（本大题共6小题，每小题9分，共54分7．.已知直线32xy与抛物线2xy相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于__.8.如图，正六边形ABCDEF中，P是ED上一点，直线DC与射线,APAB相交于,.MN，当AMN面积与正六边形ABCDEF面积相等时，EPPD9.已知三个非负实数cba,,满足：523cba和132cba，若cbam73，则m的最小值为10．满足方程532xx的x的取值范围是11．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程21x时，突发奇想：21x在实数范围内无解，如果存在一个数i，使21i，那么若21x,则xi，从而xi是方程21x的两个根。据此可知：①i可以运算，例如：321iiiii，则2011i，②方程2220xx的两根为（根用i表示）注：①问空3分，②问空6分12．已知对任意正整数n都有3123naaaan，则234201111111111aaaa智浪教育-普惠英才第3页共7页三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分)13．规定符号[]x表示不超过x的最大整数，例73.13,3,663，求：方程22xx大于3的x的解智浪教育-普惠英才第4页共7页14．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．（1）求这条抛物线对应的函数关系式；（2）连结BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由；（3）连结BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．yxOABCDEM智浪教育-普惠英才第5页共7页15.如图（1）至图（3），C为定线段AB外一动点，以AC、BC为边分别向外侧作正方形CADF和正方形CBEG，分别作1DDAB、1EEAB，垂足分别为1D、1E．当C的位置在直线AB的同侧变化过程中，（1）如图（1），当∠ACB＝90°，AC=4，BC=3时，求11DDEE的值；（2）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，11DDEE的值为定值；（3）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点．E1D1FABGCED图（1）E1D1FABGCED图（2）E1D1FABGCED图（3）智浪教育-普惠英才第6页共7页第七届“锐丰杯”初中数学邀请赛参考答案一．选择题ACBCDB二．填空题7．68．129．5710．23x11．①i②1i12．6702011三．解答题13．解：222,2xx；又由3,3xx，即：32x………（6分）当3x时，原方程化为223,5xx，检验5x适合………（8分）当2x时，原方程化为222,2xx，检验2x适合……………（10分）当1x时，原方程化为221,3xx，检验都不适合……………（12分）当0x时，原方程化为220,2xx，检验都不适合……………（14分）当1x时，原方程化为221,1xx，检验1x适合……………（16分）当2x时，原方程化为222,0xx，检验不适合……………（18分）综上可得满足条件的方程的解为5x或2x或1x……………（20分）14．（1）根据△ABE与△ABC的面积之比为3∶2及E（2，6），可得C（0，4）.∴D（0，2）.…………………………（2分）由D（0，2）、E（2，6）可得直线AD所对应的函数关系式为y＝2x＋2.……（4分）当y＝0时，2x＋2＝0，解得x＝－1.∴A（－1，0）.……………………………（6分）由A（－1，0）、C（0，4）、E（2，6）求得抛物线对应的函数关系式为y＝－x2＋3x＋4.……………………（8分）（2）BD⊥AD…………………………………………………（9分）求得B（4，0），………………………（10分）通过相似或勾股定理逆定理证得∠BDA＝90°，即BD⊥AD.………（12分）智浪教育-普惠英才第7页共7页（3）法1：求得M（23，103），AM＝535.……………………（16分）由△ANB∽△ABM，得ANAB＝ABAM，即AB2＝AM·AN，∴52＝535·AN，…………………………（18分）解得AN＝35.从而求得N（2，6）.………………………（20分）法2：由OB＝OC＝4及∠BOC＝90°得∠ABC＝45°.…………………………（16分）由BD⊥AD及BD＝DE＝25得∠AEB＝45°.…………………………（18分）∴△AEB∽△ABM，即点E符合条件，∴N（2，6）.……………………（20分）15．（1）从1DDA∽ACB,得1445DD，所以1165DD；从1EEB∽BCA,得1335EE，所以195EE；所以112555DDEE；………（6分）（2）提示：定线段AB长为定值；猜想11DDEEAB；过点C作CHAB，垂足为H；再通过两对全等三角形来证明11DDEEAB；………………（12分）（3）提示：利用“梯形的中位线长等于两底和的一半”，设M为DE的中点，Q为11DE的中点，则：1111()22MQDDEEAB且MQAB，特殊地，当四边形11DDEE为矩形时，以上结论仍然成立．又因为可证明11DAEB，所以11DE的中点就是AB的中点．所以，不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点，此定点M恒在“点C的同侧，与AB的中点Q距离为12AB长的点上”．…………………………（20分）QMHE1D1FABGCED