巧用简谐运动对称性解题

智浪教育-普惠英才巧用简谐运动的对称性解题简谐运动具有对称性，物体做简谐运动的运动时间、速度、位移、回复力、加速度也同样具有对称性，灵活运用这一特点解题，可使解题更简捷。一、运动时间的对称性例1如下图所示，一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O开始计时，经过3s质点第一次过M点；再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需要的时间是（）A.8sB.4sC.14sD.s310【解析】设图中a、b两点为质点运动过程中的最大位移处，若开始计时时刻质点从O点向右运动，O→M运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s，由运动时间的对称性知：s16T,s44T质点第三次经过M点所需时间：△s14s2s16s2Tt，故C正确；若开始计时时刻质点从O点向左运动，O→a→O→M，运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s，有：s316T,s44T2T，质点第三次经过M点所需时间：△s310s2s316s2Tt，故D正确，应选CD。二、速度的对称性例2做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，运动过程中的最大速率为v，从某一时刻算起，在半个周期内（）A.弹力做的功一定为零B.弹力做的功可能是0到2mv21之间的某一值C.弹力的冲量一定为零D.弹力的冲量可能是0到2mv之间的某一值【解析】由速度的对称性知，无论从什么时刻开始计时，振子半个周期后的速度与原来的速度大小相等，方向相反。由动能定理知，半个周期内弹力做的功为零，A正确；半个周期内振子速度变化量的最大值为2mv。由动量定理知，弹力的冲量为0到2mv之间的某一值，故D正确，应选AD。三、位移的对称性例3一弹簧振子做简谐动动，周期为T，则下列说法中正确的是（）A.若t时刻和（t+△t）时刻振子运动的位移大小相等、方向相同，则△t一定等于T的整数倍智浪教育-普惠英才B.若T时刻和（t+△t）时刻振子运动的速度大小相等、方向相反，则△t一定等于T/2的整数倍C.若△t=T，则t时刻和（t+△t）时刻，振子运动的加速度一定相等D.若△t=2T，则t时刻和（t+△t）时刻，弹簧的长度一定相等【解析】两时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，说明振子位于同一位置，△t不定等于T的整数倍，A错；振子两次经过同一位置时的速度大小相等、方向相反，但△t不一定等于2T的整数倍，B错；在相隔一个周期T的两个时刻振子位于同一位置，振子运动的加速度一定相等，C正确；相隔△t=2T的两个时刻，振子位于对称位置，位移大小相等方向相反，这时弹簧的长度不同，D错，应选C。四、回复力的对称性例4如下图在质量为M的支架上用一轻质弹簧挂有质量均为m（M≥m）的A、B两物体，支架放在水平地面上，开始各物体都静止，突然剪断A、B间的连线，此后A做简谐运动，当A运动到最高点时，支架对地面的压力为（）A.MgB.(M－m)gC.(M+m)gD.(M+2m)g【解析】剪断细线的瞬间，弹簧对A的弹力为kx=2mg，A受到向上的合外力为mg。当A运动到上方最大位移处，由简谐运动的回复力的对称性知，A将受到竖直向下的合外力，其大小仍为mg，此时弹簧中没有弹力，所以木箱对地面的压力大小为Mg。应选A。五、加速度的对称性例5如下图所示，一劲度系数为k的轻弹簧下端固定于水平地面上，弹簧的上端固定一质量为M的薄板P，另有一质量为m的物块B放在P的上表面。向下压缩B，突然松手，使系统上下振动，欲使B、P始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多少？【解析】将B、P看成一个简谐振子，当B、P在平衡位置下方时，系统处于超重状态，B、P不可能分离，分离处一定在平衡位置上方最大位移处，当B、P间弹力恰好为零时两物体分离，此时B的回复力恰好等于其重力mg，其最大加速度为gamax。由加速度的对称性可知，弹簧处于压缩量最大处的加速度也为gamax。由牛顿第二定律得智浪教育-普惠英才maxmaxa)mM(g)mM(kx，解得kg)mM(2xmax。由此可见，灵活运用简谐活动的对称性解题，可使解题过程简捷明了，达到事半功倍的效果。