高中数学竞赛辅导4 几个初等函数的性质

智浪教育-普惠英才第四章几个初等函数的性质一、基础知识1．指数函数及其性质：形如y=ax(a0,a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0a1时，y=ax是减函数，当a1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）．2．分数指数幂：nmnmnnnmnmnnaaaaaaaa1,1,,1．3．对数函数及其性质：形如y=logax(a0,a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）．当0a1，y=logax为减函数，当a1时，y=logax为增函数．4．对数的性质（M0,N0）；1）ax=Mx=logaM(a0,a1)；2）loga(MN)=logaM+logaN；3）loga（NM）=logaM-logaN；4）logaMn=nlogaM；，5）loganM=n1logaM；6）alogaM=M;7)logab=abccloglog(a,b,c0,a,c1).5.函数y=x+xa（a0）的单调递增区间是a,和,a，单调递减区间为0,a和a,0．（请读者自己用定义证明）6．连续函数的性质：若ab,f(x)在[a,b]上连续，且f(a)·f(b)0，则f(x)=0在（a,b）上至少有一个实根．二、方法与例题1．构造函数解题．例1已知a,b,c∈(-1,1)，求证：ab+bc+ca+10.【证明】设f(x)=(b+c)x+bc+1(x∈(-1,1))，则f(x)是关于x的一次函数．所以要证原不等式成立，只需证f(-1)0且f(1)0（因为-1a1）.因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)0，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，所以f(a)0，即ab+bc+ca+10.例2（柯西不等式）若a1,a2,…,an是不全为0的实数，b1,b2,…,bn∈R，则（niia12）·（niib12）≥(niiiba1)2，等号当且仅当存在R，使ai=ib,i=1,2,…,n时成立．【证明】令f(x)=（niia12）x2-2(niiiba1)x+niib12=niiibxa12)(,因为niia120，且对任意x∈R,f(x)≥0，所以△=4(niiiba1)-4（niia12）(niib12)≤0.展开得（niia12）(niib12)≥(niiiba1)2．等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使ai=ib,i=1,2,…,n．智浪教育-普惠英才例3设x,y∈R+,x+y=c,c为常数且c∈(0,2]，求u=yyxx11的最小值．【解】u=yyxx11=xy+xyxyyx1≥xy+xy1+2·xyyx=xy+xy1+2.令xy=t，则0t=xy≤44)(22cyx,设f(t)=t+t1,0t≤.42c因为0c≤2，所以042c≤1，所以f(t)在4,02c上单调递减．所以f(t)min=f(42c)=42c+24c，所以u≥42c+24c+2.当x=y=2c时，等号成立.所以u的最小值为42c+24c+2.2．指数和对数的运算技巧．例4设p,q∈R+且满足log9p=log12q=log16(p+q)，求pq的值．【解】令log9p=log12q=log16(p+q)=t，则p=9t,q=12t,p+q=16t，所以9t+12t=16t，即1+.34342tt记x=tttpq34912，则1+x=x2，解得.251x又pq0，所以pq=.251例5对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和实数x,y,z,w，若ax=by=cz=70w，且wzyx1111，求证：a+b=c.【证明】由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以w1lga=x1lg70,w1lgb=y1lg70,w1lgc=z1lg70，相加得w1(lga+lgb+lgc)=zyx111lg70，由题设wzyx1111，所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.所以abc=70=2×5×7.若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a1.又a≤b≤c，且a,b,c为70的正约数，所以只有a=2,b=5,c=7.所以a+b=c.例6已知x1,ac1,a1,c1.且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.【证明】由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得bxcxxaaaaaloglog2logloglog，因为ac0,ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.智浪教育-普惠英才注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁．3．指数与对数方程的解法．解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解．值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论．例7解方程：3x+4x+5x=6x.【解】方程可化为xxx653221=1．设f(x)=xxx653221,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.例8解方程组：312xyyxyxyx（其中x,y∈R+）.【解】两边取对数，则原方程组可化为.3lg)(lg12lg)(glxyyxyxyx①②把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0.由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x,y∈R+)得x+y=6，代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.又y0，所以y=2,x=4.所以方程组的解为24;112211yxyx.例9已知a0,a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围．【解】由对数性质知，原方程的解x应满足00)(22222axakxaxakx.①②③若①、②同时成立，则③必成立，故只需解0)(222akxaxakx.由①可得2kx=a(1+k2)，④当k=0时，④无解；当k0时，④的解是x=kka2)1(2，代入②得kk212k.若k0，则k21，所以k-1；若k0，则k21，所以0k1.综上，当k∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解．