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1第24届全国中学生物理竞赛决赛试题2007年11月宁波★理论部分一、A，B，C三个刚性小球静止在光滑的水平面上．它们的质量皆为m，用不可伸长的长度皆为l的柔软轻线相连，AB的延长线与BC的夹角α=π/3，如图所示．在此平面内取正交坐标系Oxy，原点O与B球所在处重合，x轴正方向和y轴正方向如图．另一质量也是m的刚性小球D位于y轴上，沿y轴负方向以速度v0（如图）与B球发生弹性正碰，碰撞时间极短．设刚碰完后，连接A，B，C的连线都立即断了．求碰后经多少时间，D球距A，B，C三球组成的系统的质心最近．二、为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为0.01AU（AU为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU=1.495×1011m），并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运动）．试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度u0（发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速度）发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上）进入符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径Re=6.37×106m，地面处的重力加速度g=9.80m/s2，不考虑空气的阻力．三、如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为H、内壁横截面积为S的绝热气缸内，有一质量为m的绝热活塞A把缸内分成上、下两部分．活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动．缸内顶部与A之间串联着两个劲度系数分别为k1和k2（k1≠k2）的轻质弹簧．A的上方为真空；yCDv0lαOxAlB2A的下方盛有一定质量的理想气体．已知系统处于平衡状态，A所在处的高度（其下表面与缸内底部的距离）与两弹簧总共的压缩量相等皆为h1=H/4．现给电炉丝R通电流对气体加热，使A从高度h1开始上升，停止加热后系统达到平衡时活塞的高度为h2=3H/4．求此过程中气体吸收的热量△Q．已知当体积不变时，每摩尔该气体温度每升高1K吸收的热量为3R/2，R为普适气体恒量．在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律．四、为了减少线路的输电损耗，电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式．在传输线路上建造一系列接地的铁塔，把若干绝缘子连成串（称为绝缘子串，见图甲），其上端A挂在铁塔的横臂上，高压输电线悬挂在其下端B．绝缘子的结构如图乙所示：在半径为R1的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质，介质外是一内半径为R2的半球形导体球壳．已知当导体球与导体球壳间的电压为U时，介质中离球心O的距离为r处的场强为E=R1R2R2－R1Ur2，场强方向沿径向．1．已知绝缘子导体球壳的内半径R2=4.6cm，陶瓷介质的击穿强度Ek=135kV/cm．当介质中任一点的场强E＞Ek时，介质即被击穿，失去绝缘性能．为使绝缘子所能承受的电压（即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压）为最大，导体球的半径R1应取什HAB图甲半球形导体球壳绝缘层导体球图乙3么数值？此时，对应的交流电压的有效值是多少？2．一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串（如图甲），每个绝缘子的两导体间有电容C0．每个绝缘子的下部导体（即导体球）对于铁塔（即对地）有分布电容C1（导体球与铁塔相当于电容器的两个导体极板，它们之间有一定的电容，这种电容称为分布电容）；每个绝缘子的上部导体（即导体球壳）对高压输电线有分布电容C2．若高压输电线对地电压的有效值为U0．试画出该系统等效电路图．3．若C0=70pF=7×10－11F，C1=5pF，C2=1pF，试计算该系统所能承受的最大电压（指有效值）．五、如图所示，G为一竖直放置的细长玻璃管，以其底端O为原点，建立一直角坐标系Oxy，y轴与玻璃管的轴线重合．在x轴上与原点O的距离为d处固定放置一电荷量为Q的正点电荷A，一个电荷量为q（q＞0）的粒子P位于管内，可沿y轴无摩擦地运动．设两电荷之间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响．1．求放在管内的带电粒子P的质量m满足什么条件时，可以在y＞0的区域内存在平衡位置．2．上述平衡状态可以是稳定的，也可能是不稳定的；它依赖于粒子的质量m．以y（m）表示质量为m的粒子P处于平衡位置时的y坐标．当粒子P处于稳定平衡状态时，y（m）的取值区间是_________________；当粒子P处于不稳定平衡状态时，y（m）的取值区间是_________________（请将填空答案写在答题纸上）．3．已知质量为m1的粒子P处于稳定平衡位置，其y坐标为y1．现给P沿y轴一微小扰动．试证明以后的运动为简谐运动，并求此简谐运动的周期．4．已知质量为m2的粒子P的不稳定平衡位置的y坐标为y2，现设想把P放在坐标y3处，然后从静止开始释放P．求释放后P能到达玻璃管底部的所有可能的y3（只要列出y3满足的关系式，不必求解）．yGPOdAx4六、如图所示，一半径为R、折射率为ng的透明球体置于折射率n0=1的空气中，其球心位于图中光轴的O处，左、右球面与光轴的交点为O1与O2．球体右半球面为一球面反射镜，组成球形反射器．光轴上O1点左侧有一发光物点P，P点到球面顶点O1的距离为s．由P点发出的光线满足傍轴条件，不考虑在折射面上发生的反射．1．问发光物点P经此反射器，最后的像点位于何处？2．当P点沿光轴以大小为v的速度由左向右匀速运动时，试问最后的像点将以怎样的速度运动？并说明当球体的折射率ng取何值时像点亦做匀速运动．七、已知钠原子从激发态（记做P3/2）跃迁到基态（记做S1/2）所发出的光谱线波长λ0=588.9965nm．现有一团钠原子气，其中的钠原子做无规的热运动（钠原子的运动不必考虑相对论效应），被一束沿z轴负方向传播的波长为λ=589.0080nm的激光照射．以θ表示钠原子运动方向与z轴正方向之间的夹角（如图所示）．问在30°＜θ＜45°角度区间内的钠原子中速率u在什么范围内能产生共振吸收，从S1/2态激发到P3/2态？并求共振吸收前后钠原子速度（矢量）变化的大小．已知钠原子质量为M=3.79×10－26kg，普朗克常量h=6.626069×10－34J•s，真空中的光速c=2.997925×108m•s－1．PO1O2s钠原子激光束uzθ5第24届全国中学生物理竞赛决赛参考解答一、1．分析刚碰后各球速度的方向．由于D与B球发生弹性正碰，所以碰后D球的速度方向仍在y轴上；设其方向沿y轴正方向，大小为v．由于线不可伸长，所以在D，B两球相碰的过程中，A，C两球都将受到线给它们的冲量；又由于线是柔软的，线对A，C两球均无垂直于线方向的作用力，因此刚碰后，A球的速度沿AB方向，C球的速度沿CB方向．用θ表示B球的速度方向与x轴的夹角，则各球速度方向将如图所示．因为此时连接A，B，C三球的两根线立即断了，所以此后各球将做匀速直线运动．2．研究碰撞后各球速度的大小．以v1，v2，v3分别表示刚碰后A，B，C三球速度的大小，如图所示．因为碰撞过程中动量守恒，所以沿x方向有mv1－mv3cosα+mv2cosθ=0；（1）沿y方向有－mv0=mv－mv2sinθ－mv3sinα．（2）根据能量守恒有12mv20=12mv21+12mv22+12mv23+12mv2．（3）因为碰撞过程中线不可伸长，B，C两球沿BC方向的速度分量相等，A，B两球沿AB方向的速度分量相等，有v2cosθ=v1，（4）v2cos[π－(α+θ)]=v3．（5）将α=π/3代入，由以上各式可解得v1=312v0，（6）v2=216v0，（7）v3=33v0，（8）6v=14v0．（9）3．确定刚碰完后，A，B，C三球组成的系统质心的位置和速度．由于碰撞时间极短，刚碰后A，B，C三球组成的系统，其质心位置就是碰撞前质心的位置，以（xc，yc）表示此时质心的坐标，根据质心的定义，有xc=mlcosα－ml3m，（10）yc=mlsinα3m．（11）代入数据，得xc=－16l，（12）yc=36l．（13）根据质心速度的定义，可求得碰后质心速度vc的分量为vcx=mv1+mv2cosθ－mv3cosα3m，（14）vcy=－mv2sinθ－mv3sinα3m．（15）由（4）～（7）和（14），（15）各式及α值可得vcx=0，（16）vcy=－512v0．（17）4．讨论碰后A，B，C三球组成的系统的质心和D球的运动．刚碰后A，B，C三球组成的系统的质心将从坐标（xc=－l/6，yc=3l/6）处出发，沿y轴负方向以大小为5v0/12的速度做匀速直线运动；而D球则从坐标原点O出发，沿y轴正方向以大小为v0/4的速度做匀速直线运动．A，B，C三球组成系统的质心与D球是平行反向运动，只要D球与C球不发生碰撞，则vC，vD不变，质心与D球之间的距离逐渐减少．到y坐标相同处时，它们相距最近．用t表示所求的时间，则有vt=yc+vcyt（18）将vcy，v，yc的值代入，得t=3l4v0．（19）此时，D球与A，B，C三球组成系统的质心两者相距l/6．在求出（19）式的过程中，假设了在t=3l/4v0时间内C球未与D球发生碰撞．下面说明此假设是正确的；因为v3=3v0/3，它在x方向分量的大小为3v0/6．经过t时间，它沿x轴负方向经7过的距离为l/8．而C球的起始位置的x坐标为l/2．经t时间后，C球尚未到达y轴，不会与D球相碰．二、从地球表面发射宇宙飞船时，必须给飞船以足够大的动能，使它在克服地球引力作用后，仍具有合适的速度进入绕太阳运行的椭圆轨道．此时，飞船离地球已足够远，但到太阳的距离可视为不变，仍为日地距离．飞船在地球绕太阳运动的轨道上进入它的椭圆轨道，用E表示两轨道的交点，如图1所示．图中半径为rse的圆A是地球绕太阳运行的轨道，太阳S位于圆心．设椭圆B是飞船绕日运行的轨道，P为椭圆轨道的近日点．由于飞船绕日运行的周期与地球绕日运行的周期相等，根据开普勒第三定律，椭圆的半长轴a应与日地距离rse相等，即有a=rse（1）根据椭圆的性质，轨道上任一点到椭圆两焦点的距离之和为2a，由此可以断定，两轨道的交点E必为椭圆短轴的一个顶点，E与椭圆长轴和短轴的交点Q（即椭圆的中心）的连线垂直于椭圆的长轴．由△ESQ，可以求出半短轴b=r2se－(a－SP)2．（2）由（1），（2）两式，并将a=rse=1AU，SP=0.01AU代入，得b=0.141AU．（3）在飞船以椭圆轨道绕太阳运行过程中，若以太阳为参考系，飞船的角动量和机械能是守恒的．设飞船在E点的速度为v，在近日点的速度为vp，飞船的质量为m，太阳的质量为Ms，则有mvasinθ=mvpSP，（4）式中θ为速度v的方向与E，S两点连线间的夹角：sinθ=ba．（5）由机械能守恒，得ArsePvveB图1812mv2－GMsma=12mv2p－GmMsSP．（6）因地球绕太阳运行的周期T是已知的（T=365d），若地球的质量为Me，则有GMsMea2=Me(2πT)2a．（7）解（3）～（7）式，并代入有关数据，得v=29.8km/s．（8）（8）式给出的v是飞船在E点相对于太阳的速度的大小，即飞船在克服地球引力作用后从E点进入椭圆轨道时所必须具有的相对于太阳的速度．若在E点飞船相对地球的速度为u，因地球相对于太阳的公转速度为ve=2πaT=29.8km/s，（9）方向如图1所示．由速度合成公式，可知v=u+ve，（10）速度合成的矢量图如图2所示，注意到ve与ES垂直，有u=v2+v2e－2vvecos(π2－θ)，（11）代入数据，得u=39.1km/s．（12）u是飞船在E点相对于地球的速度，但不是所要求的发射速度u0．为了求得u0，可以从与地心固定连接在一起的参考系来考察飞船的运动．因飞船相对于地球的发射速度为u0时，飞船离地心的距离等于地球半径Re．当飞船相对于地球的速度为u时，地球引力作用可以忽略．由能量守恒，有图2912mu20－GMemRe