2012自主招生“华约”数学试卷解析

2012年自主招生“华约”试卷解析数学试卷Page1of32012自主招生“华约”数学试卷解析随着各大考场2月11日下午五点半铃声的响起，2012年“华约”自主招生考试终于落下了帷幕。连续三年的“华约”联盟考试AAA测试，都是由考试院来出题和阅卷，因此学而思自主招生研究中心数学学科之前的讨论便预期到今年的考试形式会进一步向全国高中数学联赛靠拢，并且考试的题型、风格、难度都不会有太大变化，但是今年的题目虽然没有超出大家的预料，但是依旧让所有的老师们大跌眼镜。今年，“华约”的选择题依旧是10道，涉及的也是和以前一样的知识点：三角、函数、数列、复数、立体几何、解析几何、平面几何、组合问题，不过根据部分考生的感觉，比去年更难，但是拿到题目后，我们发现和去年的难度持平，可能由于进一步向竞赛的思想靠拢，所以众多没有接触过竞赛的考生非常的不适应。比如今年的一道组合计数的题目便是有6个棋子，分别是红色和蓝色的车、马、炮，将他们排成一列，使得任何一个棋子的左边的红色棋子不少于蓝色棋子，请问有多少种排列方式，我们知道如果不计算红色和蓝色棋子的区别，那么这就是组合数学里非常经典的一个问题：Catalan数，这是一个三阶形式，并不难，就算是枚举法，也能做出来。再比如，今年还有一道选择题涉及到了一个数列的平方和的最大值问题，我们知道如果和相等的时候，肯定是相差越大那么平方和越大，这也是竞赛里一个常用的不等式思想，用“微调法”很快便得到了证明。最后，立体几何的空间角的大小比较则是可以直接通过选择题中的“特殊值”法轻松解决。通过上面的举例，我想很多接触过数学竞赛的学生们会发现“华约”自主招生的考试已经明显向数学竞赛倾斜，但是其赤裸裸的方式让笔者实在是大失所望。今年的多位考生表示，看完数学和自然科学的试卷后，直接决定数学就花1小时，安心做好自然科学即可，这也看出了大家对于数学试卷的绝望，而非常优秀的学生在处理数学试卷中的5道大题也就能做出其中的3到4道左右而已，下面我们便为大家带来两道大题的一个解答：请证明：方程23102!3!!nxxxxn在n为偶数的时候没有实数根，在n为奇数的时候有且仅有一个实数根证明：记2312!3!!nnxxxfxxn，我们对n使用数学归纳法证明加强命题：方程0nfx在n为偶数的时候在实数上恒大于零，在n为奇数的时候在实数上严格单调递增并且可以取遍所有的实数1.当1,2n的时候，直接验证，结论显然成立2.当1nk的时候结论成立，那么nk的时候①k是偶数的时候，2312!3!!kkxxxfxxk，1'kkfxfx，那么由归2012年自主招生“华约”试卷解析数学试卷Page2of3纳假设，我们知道存在一个00x为10kfx的根，使得在0xx的时候'kfx10kfx，在0xx的时候1'0kkfxfx，所以可以看出kfx在实数上的最小值应该在0x处取到，220000100!!!kkkkkxxxfxfxkkk，也就是说kfx在实数上的每个取值都大于零，因此结论成立②k是奇数的时候，2312!3!!kkxxxfxxk，1'kkfxfx，那么由归纳假设，我们知道1'0kkfxfx恒成立，也就是说kfx严格单调递增，而kfx是一个奇数次最高次项系数大于零的一个多项式，因此可以知道当x趋于的时候kfx也会趋于，同理当x趋于的时候kfx也会趋于，而kfx连续，因此我们证明了kfx在实数上严格单调递增并且可以取遍所有的实数（这一点如果不用极限的写法也可以将kfx分段说明，但是写起来会比较麻烦）目前有n2n位乒乓球选手，他们互相进行了若干场兵乓球双打比赛，并且发现任意两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，请问n的所有可能取值解答：本题写起来较为复杂，所以主要告诉大家思想即可。假设比赛了k场比赛，那么由题目假设，一场比赛出现了2对队友，所以22nCk也就是说41knn，那么得到4nl或者41l，其中l下面我们证明，对于任意的4nl或者41l，其中l，我们都可以构造出满足要求的比赛：41nl的时候，我们对l使用数学归纳法：1.当1l的时候，5n，此时我们假设这5名选手为,,,,ABCDE，那么我们如下安排比赛即可：,,,,ABCDACBEBCDEAEBDADCE2.当lm的时候结论成立，那么1lm的时候，假设这45m位选手为121212112222,,,,,,,,,...,,mmABCDEFFFFFF，由归纳假设，可以安排121212112222,,,,,...,,mmEFFFFFF之间的比赛，使得他们之间每两位选手作为队友恰好只参加2012年自主招生“华约”试卷解析数学试卷Page3of3过一次比赛，我们还剩下,,,,ABCDE互相的比赛和,,,ABCD与12121122,,...,,mmFFFF之间的比赛，,,,,ABCDE互相的比赛根据1l的结论我们知道也有满足要求的比赛；,,,ABCD与12121122,,...,,mmFFFF之间的比赛我们安排如下：1iAF与2iBF，2iAF与1iBF，1iCF与2iDF，2iCF与1iDF，这样就满足要求了最后将这些比赛总计起来，就是满足要求的45m位选手之间的比赛了由数学归纳法，结论得到了证明4nl的时候，我们对l使用数学归纳法，与上面几乎类似也可以证明结论综合上述，n的所有可能取值是4nl或者41l，其中l这两道题比较有这次“华约”数学试题的风格特点，但是不容乐观的事情是，这两道题都是数学竞赛的原题（据笔者回忆，一道是数学联赛或者冬令营的原题，一道则是俄罗斯或者东欧的数学竞赛的原题），对于没有接触过数学竞赛的学生而言，这两道题可以用灾难两个字来形容，而他们的技巧性，亦或者是通过这样的题目来选拔优秀的人才，笔者在此表示不甚认同。三角函数和解析几何的大题比较具有“送分性”，甚至比高考的压轴题略为简单，而概率问题则是直接涉及到了高等数学的组合数学知识，求一个二项式的一半的显性表达式，这显然是一个积分，但是其递推式和单调性以及概率意义还是值得大家思考的。总体来说，2012年的“华约”数学试题进一步向数学竞赛靠拢，如果按照这个趋势，自主招生与竞赛将会出现大幅度的“重合”情况，从教育发展这个角度来讲，这不是一件值得高兴的事情，这只能说明自主招生从一开始的变化多样，真正的去用一些有意思有挑战的想法去考察学生，变成了现在的逐步有规律可循，并且和竞赛并无两样；但是从高中生备考这个层面来讲，这件事反而使得备考更加有规律可循，似乎接触数学竞赛成为了自主招生获得优秀成绩的必经途径。