2012高中数学必做100题--数学2

智浪教育-普惠英才高中数学必做100题—必修2时量：120分钟班级：姓名：计分：（说明：《必修2》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修2》精选）1.在圆锥底面半径为1cm，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.（☆P3例3）2.如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.（☆P15例2）BCAD452高中数学必做100题◆必修2问题是数学的心脏。—哈尔默斯103.直角三角形三边长分别是3cm、4cm、5cm，绕三边旋转一周分别形成三个几何体.想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积和体积.（◎P3610）4.已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且23CFCGCBCD.求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点.（☆P21例3）ABCDEFGH智浪教育-普惠英才5.如图，∥∥，直线a与b分别交,,于点,,ABC和点,,DEF，求证：ABDEBCEF.（◎P63B3）6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（◎P79B2）求证：（1）B1D⊥平面A1C1B；（2）B1D与平面A1C1B的交点设为O，则点O是△A1C1B的垂心.高中数学必做100题◆必修2问题是数学的心脏。—哈尔默斯127.（06年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.（1）求证：ACPB；（2）求证：//PB平面AEC；（3）求二面角EACB的大小.（☆P389）8.已知(1,1)A，(2,2)B，(3,0)C，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．（◎P908）智浪教育-普惠英才9.求过点(2,3)P，并且在两轴上的截距相等的直线方程.（◎P1009）10.三角形的三个顶点是A（4，0）、B（6，7）、C（0，3）.（◎P101B1）（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程；（3）求BC边的垂直平分线的方程．高中数学必做100题◆必修2问题是数学的心脏。—哈尔默斯1411.在x轴上求一点P，使以点(1,2)A、(3,4)B和点P为顶点的三角形的面积为10.（◎P110B5）12.过点(3,0)P有一条直线l，它夹在两条直线1:220lxy与2:30lxy之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程.（◎P115B8）智浪教育-普惠英才13.ABC的三个顶点的坐标分别是(5,1)A、(7,3)B、(2,8)C，求它的外接圆的方程.（◎P119例2）14.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆22(1)4xy上运动，求线段AB的中点轨迹方程.（◎P122例5）高中数学必做100题◆必修2问题是数学的心脏。—哈尔默斯1615.过点(3,3)M的直线l被圆224210xyy所截得的弦长为45，求直线l方程.（◎P127例2）16.求圆心在直线40xy上，并且经过圆22640xyx与圆226280xyy的交点的圆的方程.（◎P1324）智浪教育-普惠英才高中数学必做100题—必修2班级：姓名：（说明：《必修2》部分共精选12题，“◎”表示教材精选，“☆”表示《精讲精练.必修2》精选）1.圆锥底面半径为1cm，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.（☆P3例3）解：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1，如图所示.…………………2分设正方体棱长为x，则CC1=x，C1D12x。作SOEF于O，则SO2，OE=1，……………………………….5分1~ECCEOS，∴11CCECSOEO，即1(2/2)12xx………..10分∴2()2xcm，即内接正方体棱长为22cm……………………….12分2.如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.（☆P15例2）解：由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面.……………………………………….3分S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π.故所求几何体的表面积为68π………………………………………..7分由22221[2255523V圆台（）（）]4，………9分341162323V半球…………………………………………….11分所以，旋转体的体积为31614052)33VVcm圆台半球(……12分3.直角三角形三边长分别是3cm、4cm、5cm，绕三边旋转一周分别形成三个几何体.想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积和体积.（◎P3610）解：以绕5cm边旋转为例，其直观图、正视图与侧视图、俯视图依次分别为：…………………………………………………………………………………………………………..2分其表面是两个扇形的表面，所以其表面积为2112842(34)()255Scm；-----------------3分BCAD452SDEOC1CFD1BCAD452高中数学必做100题◆必修2问题是数学的心脏。—哈尔默斯18体积为2311248()5()355Vcm。………………………………………………….4分同理可求得当绕3cm边旋转时，236(),Scm316()Vcm。…………………….8分得当绕4cm边旋转时，224(),Scm312()Vcm。……………………………….12分（图形略）4.已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且23CFCGCBCD.求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点.（☆P21例3）证明：（1）在△ABD和△CBD中，∵E、H分别是AB和CD的中点，∴EH//12BD…………….3分又∵23CFCGCBCD，∴FG//23BD.∴EH∥FG.分所以，E、F、G、H四点共面.--------------------------------------------7分（2）由（1）可知，EH∥FG，且EHFG，即直线EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P.……………………………9分∵AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，∴由公理3知PAC.………………………11分所以，三条直线EF、GH、AC交于一点……..12分5.如图，∥∥，直线a与b分别交,,于点,,ABC和点,,DEF，求证：ABDEBCEF.（◎P63B3）证明：连结AF，交于G，连,,BGEG…………3分则由//得.ABAGBCGF……………………7分由//得,AGDEGFEF………………..10分所以.ABDEBCEF………………………..12分6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（◎P79B2）求证：（1）B1D⊥平面A1C1B；（2）B1D与平面A1C1B的交点设为H，则点H是△A1C1B的垂心.证明：（1）连11BD，1111BDAC，又1DD面1111ABCD，所以1DD11AC，11AC面11DDB，因此111ACBD。同理可证11BDAB，所以B1D⊥平面A1C1B。……6分（2）连11,,AHBHCH，由11111ABBBCB，得11AHBHCH，因此点H为11ABC的外心。又11ABC为正三角形，所以H是11ABC的中心，也是11ABC的重心。………….………………….12分7.（06年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.（1）求证：ACPB；（2）求证：//PB平面AEC；（3）求二面角EACB的大小.（☆P389）ABCDEFGH智浪教育-普惠英才解：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴AB是PB在平面ABCD上的射影.又∵AB⊥AC，AC平面ABCD，∴AC⊥PB.……4分（2）连接BD，与AC相交于O，连接EO.∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点又E是PD的中点，∴EO∥PB.又PB平面AEC，EO平面AEC，∴PB∥平面AEC……………………………..8分（3）//ACPBEOACPBEO取AD的中点F，BC的中点G，连FG，则//FGABFGACABAC所以EOG是所求二面角的平面角，且EOF与PBA对应相等。易知045,PBA由图可知，0135EOG为所求。……………12分8.已知(1,1)A，(2,2)B，(3,0)C，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．（◎P908）解：设点D的坐标为（x,y），由已知得，直线AB的斜率KＡＢ＝３，……………2分.直线ＣＤ的斜率KＣＤ＝3yx，直线ＣＢ的斜率KＣＢ＝－２，直线ＡＤ的斜率KＡＤ＝11yx。……………………………………………………………………………8分由CD⊥AB，且CB∥AD，得31031121yxxyyx，………11分所以点Ｄ的坐标是（０，１）……………………………………..12分9.求过点(2,3)P，并且在两轴上的截距相等的直线方程.（◎P1009）解：因为直线ｌ经过点Ｐ（２，３），且在ｘ轴，ｙ轴上的截距相等，所以（１）当直线l过原点时，它的方程为320xy；……………………………5分（２）当直线不过原点时，设它的方程为1,xyaa由已知得2315aaa，所以，直线l的方程为50xy。……………………………………….11分综上，直线l的方程为320xy，或者50xy。……………..12分10.三角形的三个顶点是A（4，0）、B（6，7）、C（0，3）.（◎P101B1）（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程；（3）求BC边的垂直平分线的方程．解：（１）2,3BCk所以ＢＣ边上的高所在直线l的斜率为2,3lk又l过点(4,0)A，所以直线l的方程为3(4),2yx即32120xy；……………………………..4分高中数学必做100题◆必修2问题是数学的心脏。—哈尔默斯20（２）BC中点坐标为E(3,5),所以AE所在直线的方程为04,5034yx即5200xy。..8分（3）易知35(3)2yx即32190xy为所求。…………………………………….12分11.在x轴上求一点P，使以点(1,2)A、(3,4)B和点P为顶点的三角形的面积为10.（◎P110B5）解：依设，22AB，直线AB的方程是21104231yxxy。……….3分在PAB中，设AB边上的高为h，则12210522hh，…………..7分设(,0)Px，则P到AB的距离为1,2x所以1522x，…………….10分解得9,x或11x。……………………………….11分所以，所求点的坐标是(9,0)，或(11,0)。…….12分12.过点(3,0)P有一条直线l，它夹在两条直线1:220lxy与2:30lxy之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程.（◎P115B8）解：如图，设直线l夹在直线12,ll之间的部分是AB，且ＡＢ被(3,0)P平分。设点Ａ，Ｂ的坐标分别是1122(,),(,)xyxy，则有121260xxyy，………4分又Ａ，Ｂ两点分别在直线12,ll上，所以112222030xyxy