2012高中数学必做100题--数学5

智浪教育-普惠英才高中数学必做100题—必修5时量：120分钟班级：姓名：计分：（说明：《必修5》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修5》精选）1.在△ABC中，已知3a，2b，B=45，求A、C及c.（☆P48）2.在△ABC中，若coscosaAbB，判断△ABC的形状.（☆P63）高中数学必做100题◆必修5学习数学的惟一方法是做题。—哈尔莫斯303.在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且a2＋b2＝c2＋2ab.（1）求C；（2）若tan2tanBacCc，求A．（☆P68）4.如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C，D，已知△ACD为边长等于a的正三角形．当目标出现于B时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，试求炮击目标的距离AB．（☆P88）ACDB智浪教育-普惠英才5.如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过2分钟后又看到山顶的俯角为75，求山顶的海拔高度.（☆P9例2）6.已知数列{}na的第1项是1，第2项是2，以后各项由12(2)nnnaaan给出.（1）写出这个数列的前5项；（2）利用上面的数列{}na，通过公式1nnnaba构造一个新的数列{}nb，试写出数列{}nb的前5项.（◎P34B3）高中数学必做100题◆必修5学习数学的惟一方法是做题。—哈尔莫斯327.已知数列na的前n项和为212nSnn，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？（◎P44例3）8.（09年福建卷.文17）等比数列{}na中，已知142,16aa.（☆P388）（1）求数列{}na的通项公式；（2）若35,aa分别为等差数列{}nb的第3项和第5项，试求数列{}nb的通项公式及前n项和nS.智浪教育-普惠英才9.若一等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它的前15项的和等于多少？（◎P582）10.已知数列na的前n项和为nS，*1(1)()3nnSanN.（☆P329）（1）求12,;aa（2）求证：数列na是等比数列.高中数学必做100题◆必修5学习数学的惟一方法是做题。—哈尔莫斯3411.已知不等式2230xx的解集为A，不等式260xx的解集是B.（☆P429）（1）求AB；（2）若不等式20xaxb的解集是,AB求20axxb的解集.12.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？（◎P816）智浪教育-普惠英才13.电视台应某企业之约播放两套连续剧.其中，连续剧甲每次播放时间为80min，广告时间为1min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40min，广告时间为1min，收视观众为20万.已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6min广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟.问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率?（◎P933）14.已知,xy为正数.（☆P528）（1）若191xy，求2xy的最小值；（2）若22xy，求xy的最大值.高中数学必做100题◆必修5学习数学的惟一方法是做题。—哈尔莫斯3615.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？（◎P99例2）16.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：2920(0)31600vyvvv．（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？智浪教育-普惠英才高中数学必做100题⑸----数学5参考答案1.在△ABC中，已知3a，2b，B=45，求A、C及c.（☆P48）解一：根据正弦定理，sin3sin453sin22aBAb.……（3分）∵B=4590，且ba，∴A=60或120.……（6分）当A=60时，C=75，sin2sin7562sinsin452bCcB；……（9分）当A=120时，C=15，sin2sin1562sinsin452bCcB.……（12分）解二：根据余弦定理，2222cosbacacB.将已知条件代入，整理得2610cc，解得622c.……（6分）当622c时，2222622()3132cos22622(31)222bcaAbc，从而A=60，C=75；……（10分）当622c时，同理可求得：A=120，C=15.……（12分）2.在△ABC中，若coscosaAbB，判断△ABC的形状.（☆P63）解：222cos2bcaAbc，222cos2acbBac，22222222bcaacbabbcac……（4分）化简得：224224acabcb，即2222222abcabab.……（9分）①若220ab时，ab，此时ABC是等腰三角形；②若220ab，222abc，此时ABC是直角三角形，所以ABC是等腰三角形或直角三角形.……（12分）3.在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且a2＋b2＝c2＋2ab.（1）求C；（2）若tan2tanBacCc，求A．（☆P68）解：（1）∵a2＋b2＝c2＋2ab，∴222222abcab，∴cosC＝22，∴C＝45°.……（6分）（2）由正弦定理可得tan22sinsintansinBacACCcC，∴sincos2sinsincossinsinBCACBCC∴sinBcosC＝2sinAcosB-sinCcosB，∴sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB，∴sin(B＋C)＝2sinAcosB，∴sinA＝2sinAcosB.……（9分）∵sinA≠0，∴cosB＝12，∴B＝60°，A＝180°－45°－60°＝75°.……（12分）高中数学必做100题◆必修5学习数学的惟一方法是做题。—哈尔莫斯384.如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C，D，已知△ACD为边长等于a的正三角形．当目标出现于B时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，试求炮击目标的距离AB．（结果保留根式形式）（☆P88）解：在BCD中，60DBC，sin60sin45aBC.∴63BCa.……（5分）在ABC中，135BCA，222266523()2cos135333ABaaaaa.∴5233ABa.……（12分）5.如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过2分钟后又看到山顶的俯角为75，求山顶的海拔高度.（☆P9例2）解：在ABP中，30BAP，753045APB，2180660AB.……（3分）根据正弦定理，sinsinABBPAPBBAP，6sin45sin30BP，32BP.……（6分）333sin7532sin(4530)2BP.……（10分）所以，山顶P的海拔高度为33317331022h（千米）.……（12分）6.已知数列{}na的第1项是1，第2项是2，以后各项由12(2)nnnaaan给出.（1）写出这个数列的前5项；（2）利用上面的数列{}na，通过公式1nnnaba构造一个新的数列{}nb，试写出数列{}nb的前5项.（◎P34B3）解：⑴由12121,2,nnnaaaaa，得321213aaa，432235aaa543358aaa；……（5分）⑵依题意有：211221aba，32232aba，43353aba，54485aba，654555581388aaabaa.……（12分）7.已知数列na的前n项和为212nSnn，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？（◎P44例3）解：⑴①当1n时，1132as；……（2分）②当2n时，由1nnnass得2211112222nnannnn……（7分）又132a满足122nan，所以此数列的通项公式为122nan.……（9分）ACDB智浪教育-普惠英才⑵因为111221222nnaann，所以此数列是首项为32，公差为2的等差数列.……（12分）8.（09年福建卷.文17）等比数列{}na中，已知142,16aa.（☆P388）（1）求数列{}na的通项公式；（2）若35,aa分别为等差数列{}nb的第3项和第5项，试求数列{}nb的通项公式及前n项和nS.解：（1）设{}na的公比为q，由已知得3162q，解得2q.……（3分）所以1222nnna.……（4分）（2）由（1）得28a，532a，则38b，532b.……（6分）设{}nb的公差为d，则有1128432bdbd解得11612bd.……（9分）从而1612(1)1228nbnn.……（10分）所以数列{}nb的前n项和2(161228)6222nnnSnn.……（12分）9.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它的前15项的和等于多少？（◎P582）解法一：51010,50SS，10515101540,50SSSSS，……（3分）又51051510,,SSSSS成等比数列，所以215401050S，……（8分）所以15210S.……（12分）解法二：设等比数列的首项为1a，公比为q，则：101256710Saaaaaa=555SqS=55150qS①，同理1015105SSqS②，因为510S，所以由①得510514SqS，所以1016q，代入②，得15105501610210SSqS.10.已知数列na的前n项和为nS，*1(1)()3nnSanN.（☆P329）（1）求12,;aa（2）求证：数列na是等比数列.解：（1）1111(1)3aSa，解得112a.……（2分）由2212211(1)32Saaaa，解得214a.……（5分）（2）111(1)3nnSa，则11111(1)(1)33nnnnnaSSaa，……（8分）整理为12nnaa，即112nnaa，所以{}na是等比数列.……（12分）11已知不等式2230xx的解集为A，不等式260xx的解集是B.（☆P429）（1）求AB；（2）若不等式20xaxb的解集是,AB求20axxb的解集.解：（1）解2230xx得13x，所以(1,3)A.……（3分）解260xx得32x，所以(3,2)B.∴(1,2)AB.……（6分）高中数学必做100题◆必修5学习数学的惟一方法是做题。—哈尔莫斯40（2）