2013高考数学精讲精练--函数A

智浪教育-普惠英才2013高中数学精讲精练函数A【知识导读】【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”．4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．映射特殊化函数具体化一般化概念图像表示方法定义域值域单调性奇偶性基本初等函数Ⅰ幂函数指数函数对数函数二次函数指数对数互逆函数与方程应用问题智浪教育-普惠英才第1课函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．【基础练习】1．设有函数组：①yx，2yx；②yx，33yx；③yx，xyx；④1(0),1(0),xyx，xyx；⑤lg1yx，lg10xy．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．2.设集合{02}Mxx，{02}Nyy，从M到N有四种对应如图所示：其中能表示为M到N的函数关系的有_____②③____．3.写出下列函数定义域：(1)()13fxx的定义域为______________；(2)21()1fxx的定义域为______________；(3)1()1fxxx的定义域为______________；(4)0(1)()xfxxx的定义域为_________________．4．已知三个函数:(1)()()PxyQx；(2)2()nyPx(*)nN；(3)()log()QxyPx．写出使各函数式有意义时，()Px，()Qx的约束条件：(1)______________________；(2)______________________；(3)______________________________．5.写出下列函数值域：(1)2()fxxx，{1,2,3}x；值域是{2,6,12}．(2)2()22fxxx；值域是[1,)．(3)()1fxx，(1,2]x．值域是(2,3]．【范例解析】122xyO①y122xO②122xO③y122xO④yR{1}xx[1,0)(0,)(,1)(1,0)()0Qx()0Px()0Qx且()0Px且()1Qx智浪教育-普惠英才例1.设有函数组：①21()1xfxx，()1gxx；②()11fxxx，2()1gxx；③2()21fxxx，()1gxx；④()21fxx，()21gtt．其中表示同一个函数的有③④．分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．解：在①中，()fx的定义域为{1}xx，()gx的定义域为R，故不是同一函数；在②中，()fx的定义域为[1,)，()gx的定义域为(,1][1,)，故不是同一函数；③④是同一函数．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．例2.求下列函数的定义域：①2112yxx；②12()log(2)xfxx；解：（1）①由题意得：220,10,xx解得1x且2x或1x且2x，故定义域为(,2)(2,1][1,2)(2,)．②由题意得：12log(2)0x，解得12x，故定义域为(1,2)．例3.求下列函数的值域：（1）242yxx，[0,3)x；（2）221xyx()xR；（3）21yxx．分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．（1）解：2242(2)2yxxx，[0,3)x，函数的值域为[2,2]；（2）解法一：由2221111xyxx，21011x，则21101x，01y，故函数值域为[0,1)．解法二：由221xyx，则21yxy，20x，01yy，01y，故函数值域为[0,1)．（3）解：令1xt(0)t，则21xt，2221(1)2yttt，当0t时，2y，故函数值域为[2,)．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．【反馈演练】(,0]智浪教育-普惠英才1．函数f(x)＝x21的定义域是___________．2．函数)34(log1)(22xxxf的定义域为_________________．3.函数21()1yxRx的值域为________________．4.函数23134yxx的值域为_____________．5．函数)34(log25.0xxy的定义域为_____________________．6.记函数f(x)=132xx的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a1)的定义域为B．(1)求A；(2)若BA，求实数a的取值范围．解：(1)由2－13xx≥0，得11xx≥0，x－1或x≥1，即A=(－∞，－1)∪[1，+∞)．(2)由(x－a－1)(2a－x)0，得(x－a－1)(x－2a)0．∵a1，∴a+12a，∴B=(2a，a+1)．∵BA，∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥21或a≤－2，而a1，∴21≤a1或a≤－2，故当BA时，实数a的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1)．第2课函数的表示方法【考点导读】(1,2)(2,3)(0,1](,4]13[,0)(,1]44智浪教育-普惠英才1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式．【基础练习】1.设函数()23fxx，()35gxx，则(())fgx_________；(())gfx__________．2.设函数1()1fxx，2()2gxx,则(1)g_____3_______；[(2)]fg17；[()]fgx213x．3.已知函数()fx是一次函数，且(3)7f，(5)1f,则(1)f__15___．4.设f(x)＝2|1|2,||1,1,||11xxxx，则f[f(21)]＝_____________．5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________．【范例解析】例1.已知二次函数()yfx的最小值等于4，且(0)(2)6ff，求()fx的解析式．分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．解法一：设2()(0)fxaxbxca，则26,426,44.4cabcacba解得2,4,6.abc故所求的解析式为2()246fxxx．解法二：(0)(2)ff，抛物线()yfx有对称轴1x．故可设2()(1)4(0)fxaxa．将点(0,6)代入解得2a．故所求的解析式为2()246fxxx．解法三：设()()6.Fxfx，由(0)(2)6ff，知()0Fx有两个根0，2，可设()()6(0)(2)Fxfxaxx(0)a，()(0)(2)6fxaxx，将点(1,4)代入解得2a．故所求的解析式为2()246fxxx．点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式．例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出()yfx的函数解析式．分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．解：当[0,30]x时，直线方程为115yx，当[40,60]x时，直线方程为1210yx，第5题xyO1234102030405060例267x64x413|1|2323xy(0≤x≤2)智浪教育-普惠英才1[0,30],15()2(30,40),1[40,60].210xxfxxxx点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．【反馈演练】1．若()2xxeefx，()2xxeegx，则(2)fx（D）Ａ．2()fxＢ．2[()()]fxgxＣ．2()gxＤ．2[()()]fxgx2．已知1(1)232fxx，且()6fm，则m等于________．3.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．求函数g(x)的解析式．解：设函数yfx的图象上任意一点00,Qxy关于原点的对称点为,Pxy，则00000,,2.0,2xxxxyyyy即∵点00,Qxy在函数yfx的图象上∴22222,2yxxyxxgxxx，即故．第3课函数的单调性【考点导读】14智浪教育-普惠英才1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．【基础练习】1.下列函数中：①1()fxx；②221fxxx；③()fxx；④()1fxx．其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___．2.函数yxx的递增区间是___R___．3.函数223yxx的递减区间是__________．4.已知函数()yfx在定义域R上是单调减函数，且(1)(2)fafa，则实数a的取值范围__________．5.已知下列命题：①定义在R上的函数()fx满足(2)(1)ff，则函数()fx是R上的增函数；②定义在R上的函数()fx满足(2)(1)ff，则函数()fx在R上不是减函数；③定义在R上的函数()fx在区间(,0]上是增函数，在区间[0,)上也是增函数，则函数()fx在R上是增函数；④定义在R上的函数()fx在区间(,0]上是增函数，在区间(0,)上也是增函数，则函数()fx在R上是增函数．其中正确命题的序号有_____②______．