2013高考数学精讲精练---圆锥曲线

智浪教育-普惠英才2012高中数学精讲精练第九章圆锥曲线【知识图解】【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。1.一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程第1课椭圆A【考点导读】1.掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2.了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.圆锥曲线双曲线椭圆抛物线几何性质定义几何性质标准方程定义几何性质标准方程圆锥曲线应用定义标准方程智浪教育-普惠英才【基础练习】1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆2213xy上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是432.椭圆1422yx的离心率为233.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是221164xy4.已知椭圆19822ykx的离心率21e，则k的值为544kk或【范例导析】例1.（1）求经过点35(,)22，且229445xy与椭圆有共同焦点的椭圆方程。（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P（3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.解：（1）∵椭圆焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为22221yxab（0ab），由椭圆的定义知，22223535312()(2)()(2)1010210222222a，∴10a，又∵2c，∴2221046bac，所以，椭圆的标准方程为221106yx。（2）方法一：①若焦点在x轴上，设方程为222210xyabab，∵点P（3,0）在该椭圆上∴291a即29a又3ab，∴21b∴椭圆的方程为2219xy.②若焦点在y轴上，设方程为222210yxabab，∵点P（3,0）在该椭圆上∴291b即29b又3ab，∴281a∴椭圆的方程为221819yx智浪教育-普惠英才方法二：设椭圆方程为2210,0,AxByABAB.∵点P（3,0）在该椭圆上∴9A=1，即19A,又3ab∴1181B或，281a∴椭圆的方程为2219xy或221819yx.【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x轴上，设方程为222210xyabab，若焦点在y轴上，设方程为222210yxabab，有时为了运算方便，也可设为221AxBy，其中0,0,ABAB.例2.点A、B分别是椭圆1203622yx长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PFPA。（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于||MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值。【分析】①列方程组求得P坐标；②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围.解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)设点P(x,y),则AP=（x+6,y）,FP=（x－4,y）,由已知可得22213620(6)(4)0xyxxy则22x+9x－18=0,x=23或x=－6.由于y0,只能x=23,于是y=235.∴点P的坐标是(23,235)(2)直线AP的方程是x－3y+6=0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是26m.于是26m=6m,又－6≤m≤6,解得m=2.椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有222222549(2)4420()15992dxyxxxx,由于－6≤m≤6,∴当x=29时,d取得最小值15点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.【反馈练习】智浪教育-普惠英才1.如果222kyx表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（0，1）2.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是213.椭圆31222yx=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的7倍4.若椭圆2215xym的离心率105e,则m的值为2533或5.．椭圆13422yx的右焦点到直线xy3的距离为326.与椭圆22143xy具有相同的离心率且过点（2，-3）的椭圆的标准方程是22186xy或223412525yx新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆7.椭圆141622yx上的点到直线022yx的最大距离是108.已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出a和b（或2a和2b）的值．从而求得椭圆方程．解：设两焦点为1F、2F，且3541PF，3522PF．从椭圆定义知52221PFPFa．即5a．从21PFPF知2PF垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPFRt中，21sin1221PFPFFPF，可求出621FPF，3526cos21PFc，从而310222cab．∴所求椭圆方程为1103522yx或1510322yx．第2课椭圆B【考点导读】智浪教育-普惠英才1.掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题;2.能解决椭圆有关的综合性问题.【基础练习】1.曲线2216106xymmm与曲线2215959xynnn的（D）A焦点相同B离心率相等C准线相同D焦距相等2.如果椭圆1162522yx上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A到两条准线的距离分别是20103，3离心率35e，一条准线为3x的椭圆的标准方程是2291520xy【范例导析】例1.椭圆12222byax（ab0）的二个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且021MFMF。求离心率e的取值范围.分析:离心率与椭圆的基本量a、b、c有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围.解：设点M的坐标为(x，y)，则),(1ycxMF，),(2ycxMF。由021MFMF，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。①又由点M在椭圆上，得y2=b2222xab，代入①，得x2-c22222bxab，即22222cbaax。∵0≤2x≤2a，∴0≤2a222cba≤2a，即0≤222cca≤1，0≤112e≤1，解得22≤e≤1。又∵0＜e＜1，∵22≤e≤1.例2.如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标.分析：第一问直接可有第一定义得出基本量a，从而写出方程；第二问涉及到焦半径问题，可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式，结合等差数列的定义解决.解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=22ca=3.故椭圆方程为92522yx=1.(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=59.因为椭圆右准线方程为x=425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F2A|=54(425－x1),|F2C|=54(425－x2)，oyxCAB'BF1F2例2智浪教育-普惠英才由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得54(425－x1)+54(425－x2)=2×59,由此得出：x1+x2=8.设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=221xx=4.【反馈练习】1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为222．已知F1、F2为椭圆2212xy的两个焦点，过F1作倾斜角为4的弦AB，则△F2AB的面积为433.已知正方形ABCD，则以AB，为焦点，且过CD，两点的椭圆的离心率为214.椭圆13610022yx上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P到它的右焦点的距离是125.椭圆192522yx上不同三点11yxA，，594，B，22yxC，与焦点04，F的距离成等差数列．求证:821xx；证明：由椭圆方程知5a，3b，4c．由圆锥曲线的统一定义知：acxcaAF12，∴11545xexaAF．同理2545xCF．∵BFCFAF2，且59BF，∴51854554521xx，即821xx．第3课双曲线【考点导读】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质2.能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题.智浪教育-普惠英才【基础练习】1.双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2倍，则14m2.方程13322kykx表示双曲线，则k的范围是33kk或3．已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为xy21，则此双曲线的离心率为54.已知焦点12(5,0),(5,0)FF，双曲线上的一点P到12,FF的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为221916xy【范例导析】例1.(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点12,PP坐标分别为9(3,42),(,5)4，求双曲线的标准方程;（2）求与双曲线191622yx共渐近线且过332，A点的双曲线方程及离心率．分析：由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.解：（1）因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为2222