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智浪教育-普惠英才(时间：40分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．(2012·广东广雅中学5月模拟)如图所示，PB，PD是半径为5的圆的两条割线，PB，PD分别与圆交于点A、C，已知PA＝4，AB＝2，PC＝3，则该圆圆心到弦CD的距离为________．解析由题意得，PA·PB＝PC·PD，即4×(4＋2)＝3×(3＋CD)，解得CD＝5，∴该圆圆心到弦CD的距离为52－522＝532.答案5322．如图所示，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D，E分别是CA，CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则AB＝________.解析设BC＝AD＝x，由割线定理，得CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，解得x＝2，因为AC是小圆的直径，所以AB＝AC2－BC2＝23.答案233．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝5－1，则AC＝________.解析由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2.答案24．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆与AB交于D，则BDDA＝________.智浪教育-普惠英才解析∵∠C＝90°，AC为圆的直径，∴BC为圆的切线，AB为圆的割线，∴BC2＝BD·AB，即16＝BD·5，解得BD＝165，∴DA＝BA－BD＝5－165＝95，∴BDDA＝169.答案1695．如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，则点A到直线l的距离AD为________．解析过A作AD⊥l于D，由AB是圆O直径，∴∠ACB＝90°，由l是圆的切线，∴∠ABC＝∠ACD，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC＝ACAB，∴AD＝AC2AB＝AB2－BC2AB＝92.答案926．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若PBPA＝12，PCPD＝13，则BCAD的值为________．解析∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，∴△PCB∽△PAD，∴PBPD＝PCPA＝BCDA，∵PBPA＝12，PCPD＝13，∴BCAD＝66.答案667．如图所示，已知AB是圆O的直径，AD＝DE，AB＝10，BD＝8，则sin∠BCE＝________.智浪教育-普惠英才解析连接BE，则在△ABD和△BCE中，∠ADB＝∠BEC＝90°，且∠ABD＝∠CBE，所以∠DAB＝∠ECB，故sin∠BCE＝sin∠DAB＝BDAB＝45.答案458．如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，圆心P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D、E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F.若CD＝2，CB＝22，则由四点B、P、E、F所确定圆的直径为________．解析连接PB.∵BC切⊙P于点B，∴PB⊥BC.又∵EF⊥CE，且∠PCB＝∠FCE，∴Rt△CBP∽Rt△CEF，∴∠EPB＋∠EFB＝180°，∴四点B，P，E，F共圆，又∵EF⊥CE，PB⊥BC，∴四点B、P、E、F所确定圆的直径就是PF.∵BC切⊙P于点B，且CD＝2，CB＝22，∴由切割线定理得CB2＝CD·CE，∴CE＝4，DE＝2，∴BP＝1.又∵Rt△CBP∽Rt△CEF，∴EFBP＝CECB，得EF＝2.连接PF，则在Rt△FEP中，PF＝PE2＋EF2＝3，即由四点B，P，E，F确定圆的直径为3.答案3二、解答题(共20分)9．(10分)如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点．连结OD交圆O于点M.(1)求证：O、B、D、E四点共圆；(2)求证：2DE2＝DM·AC＋DM·AB.证明(1)如图，连结OE、BE，则BE⊥EC又∵D是BC的中点，∴DE＝BD.智浪教育-普惠英才又∵OE＝OB，OD＝OD，∴△ODE≌△ODB，∴∠OBD＝∠OED＝90°.∴D，E，O，B四点共圆．(2)延长DO交圆O于点H.由(1)知DE为圆O的切线，∴DE2＝DM·DH＝DM·(DO＋OH)＝DM·DO＋DM·OH，∴DE2＝DM·12AC＋DM·12AB，∴2DE2＝DM·AC＋DM·AB.10．(10分)(2012·银川模拟)如图，点A是以线段BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，连接并延长AF与CB的延长线相交于点P.[(1)求证：BF＝EF；(2)求证：PA是⊙O的切线．证明(1)∵BE是⊙O的切线，∴EB⊥BC.又∵AD⊥BC，∴AD∥BE.可以得知△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴BFDG＝CFCG，EFAG＝CFCG，∴BFDG＝EFAG，又∵G是AD的中点，∴DG＝AG，∴BF＝EF.(2)如图，连接AO，AB.∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.在Rt△BAE中，由(1)得知F是斜边BE的中点，∴AF＝FB＝EF.∴∠FBA＝∠FAB.又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°.∴∠EBO＝∠FBA＋∠ABO＝∠FAB＋∠BAO＝∠FAO＝90°，∴PA是⊙O的切线．