2013届高考理科数学复习测试题8

智浪教育-普惠英才(时间：40分钟满分：60分)1．已知点A在变换T：xy→x′y′＝x＋2yy作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B.若点B的坐标为(－3,4)，求点A的坐标．解0－1101201＝0－112.设A(a，b)，则由0－112ab＝－34，得－b＝－3，a＋2b＝4.所以a＝－2，b＝3，即A(－2,3)．2．(2012·扬州调研测试)已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下，点A(1,2)变成了点A′(7,10)，点B(2,0)变成了点B′(2,4)，求矩阵M.解设M＝abcd，则abcd12＝710，abcd20＝24，即a＋2b＝7，c＋2d＝10，2a＝2，2c＝4，解得a＝1，b＝3，c＝2，d＝4.所以M＝1324.3．(2012·南京模拟)求曲线C：xy＝1在矩阵M＝11－11对应的变换作用下得到的曲线C1的方程．解设P(x0，y0)为曲线C：xy＝1上的任意一点，它在矩阵M＝11－11对应的变换作用下得到点Q(x，y)．由11－11x0y0＝xy，得x0＋y0＝x，－x0＋y0＝y.解得x0＝x－y2，y0＝x＋y2.因为P(x0，y0)在曲线C：xy＝1上，所以x0y0＝1.所以x－y2×x＋y2＝1，即x2－y2＝4.所以所求曲线C1的方程为x2－y2＝4.智浪教育-普惠英才4．已知矩阵M＝122x的一个特征值为3，求其另一个特征值．解矩阵M的特征多项式为f(λ)＝λ－1－2－2λ－x＝(λ－1)(λ－x)－4.因为λ1＝3为方程f(λ)＝0的一根，所以x＝1，由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1，所以矩阵M的另一个特征值为－1.5．求矩阵2112的特征值及对应的特征向量．解特征多项式f(λ)＝λ－2－1－1λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3.由f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.将λ1＝1代入特征方程组，得－x－y＝0，－x－y＝0⇒x＋y＝0，可取1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量．同理，当λ2＝3时，由x－y＝0，－x＋y＝0⇒x－y＝0，所以可取11为属于特征值λ2＝3的一个特征向量．综上所述，矩阵2112有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；属于λ1＝1的一个特征向量为1－1，属于λ2＝3的一个特征向量为11.6．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y＋2＝0在矩阵M＝1ab4对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，求实数a，b的值．解法一在直线l：x＋y＋2＝0上取两点A(－2,0)，B(0，－2)．A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′、B′.因为1ab4－20＝－2－2b，所以点A′的坐标为(－2，－2b)；1ab40－2＝－2a－8，所以点B′的坐标为(－2a，－8)．由题意，点A′、B′在直线m：x－y－4＝0上，智浪教育-普惠英才所以－－－2b－4＝0，－2a－－－4＝0.解得a＝2，b＝3.法二设P(x，y)为直线x＋y＋2＝0上的任意一点，它在矩阵M＝1ab4对应的变换作用下得到点Q(x′，y′)，则1ab4xy＝x′y′，得x＋ay＝x′，bx＋4y＝y′，解得x＝－4x′＋ay′，y＝bx′－y′ab－4.因此－4x′＋ay′ab－4＋bx′－y′ab－4＋2＝0，即(b－4)x′＋(a－1)y′＋(2ab－8)＝0.因为直线l在矩阵M对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0.所以b－41＝a－1－1＝2ab－8－4.解得a＝2，b＝3.