2013届高考理科数学复习测试题9

智浪教育-普惠英才(时间：40分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．已知直线ρsinθ＋π4＝22，则极点到该直线的距离是________．解析由题意知，ρsinθ＋ρcosθ＝1，∴x＋y－1＝0，由点到直线的距离公式得所求的距离d＝22.答案222．(2012·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sinθ是圆的极坐标方程，则点A4，π6到圆心C的距离是________．解析将圆的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A4，π6的直角坐标为(23，2)，故点A到圆心的距离为－232＋－2＝23.答案233．在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ－22sinθ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．解析由ρ＝6cosθ－22sinθ⇒ρ2＝6ρcosθ－22ρsinθ，所以圆的直角坐标方程为x2＋y2－6x＋22y＝0，将其化为标准形式为(x－3)2＋(y＋2)2＝11，故圆心的坐标为(3，－2)，所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x＝3，将其化为极坐标方程为ρcosθ＝3.答案ρcosθ＝34．(2012·华南师大模拟)在极坐标系中，点M4，π3到曲线ρcosθ－π3＝2上的点的距离的最小值为________．解析依题意知，点M的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x＋3y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为|2＋23×3－4|12＋32＝2.答案25．(2012·广州广雅中学模拟)在极坐标系中，圆ρ＝4上的点到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝8的距离的最大值是________．解析把ρ＝4化为直角坐标方程为x2＋y2＝16，把ρ(cosθ＋3sinθ)＝8化为直角坐标方程为x＋3y－8＝0，∴圆心(0,0)到直线的距离为d＝82＝4.∴直线和圆相切，∴圆上的点到直线的最大距离是8.智浪教育-普惠英才答案86．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：θ＝π4，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB＝________.解析曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由ρ＝2cosθ，θ＝π4得ρ＝2，θ＝π4，即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB＝2.答案27．(2012·湛江模拟)在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2＋2ρcosθ＝0，点P的极坐标为2，π2过点P作圆C的切线，则两条切线夹角的正切值是________．解析圆C的极坐标方程：ρ2＋2ρcosθ＝0化为普通方程：(x＋1)2＋y2＝1，点P的直角坐标为(0,2)，圆C的圆心为(－1,0)．如图，当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋2，则圆心到切线的距离为|－k＋2|k2＋1＝1，∴k＝34，即tanα＝34.易知满足题意的另一条切线的方程为x＝0.又∵两条切线的夹角为α的余角，∴两条切线夹角的正切值为43.答案438．若直线3x＋4y＋m＝0与曲线ρ2－2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．解析注意到曲线ρ2－2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0的直角坐标方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.要使直线3x＋4y＋m＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径即可，即|3×1＋4×－＋m|5＞1，|m－5|＞5，解得，m＜0，或m＞10.答案(－∞，0)∪(10，＋∞)二、解答题(共20分)9．(10分)设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．智浪教育-普惠英才解圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2cosθ－π2≤θ≤π2，设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)，∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cosθ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cosθ－π2≤θ≤π2，它表示圆心在点12，0，半径为12的圆．10．(10分)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为4，π2，若直线l过点P，且倾斜角为π3，圆C以M为圆心、4为半径．(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；(2)试判定直线l和圆C的位置关系．解(1)由题意，直线l的普通方程是y＋5＝(x－1)tanπ3，此方程可化为y＋5sinπ3＝x－1cosπ3，令y＋5sinπ3＝x－1cosπ3＝a(a为参数)，得直线l的参数方程为x＝12a＋1，y＝32a－5(a为参数)．如图，设圆上任意一点为P(ρ，θ)，则在△POM中，由余弦定理，得PM2＝PO2＋OM2－2·PO·OMcos∠POM，∴42＝ρ2＋42－2×4ρcosθ－π2.化简得ρ＝8sinθ，即为圆C的极坐标方程．(2)由(1)可进一步得出圆心M的直角坐标是(0,4)，直线l的普通方程是3x－y－5－3＝0，圆心M到直线l的距离d＝|0－4－5－3|3＋1＝9＋32＞4，所以直线l和圆C相离．