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智浪教育-普惠英才(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·四川)“x＝3”是“x2＝9”的()．A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件解析x＝3时，必有x2＝9，但反之不成立．故“x＝3”是“x2＝9”的充分而不必要条件．答案A2．(2012·辽宁)已知命题p：∃n∈N,2n＞1000，则綈p为()．A．∀n∈N,2n≤1000B．∀n∈N,2n＞1000C．∃n∈N,2n≤1000D．∃n∈N,2n＜1000解析特称命题的否定是全称命题．即p：∃x∈M，p(x)，则綈p：∀x∈M，綈p(x)．故选A.答案A3．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是()．A．若a≠b≠0，a，b∈R，则a2＋b2＝0B．若a＝b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0C．若a≠0且b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0解析若p则q的逆否命题为若綈q则綈p，又a＝b＝0实质为a＝0且b＝0，故其否定为a≠0或b≠0.答案D4．(★)(2012·金华十校模拟)已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析(特例法)当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin390°＝sin30°＝12＜sin60°＝32，故sinα＞sinβ不成立；当sinα＞sinβ时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不充分也不必要条件．答案D【点评】本题采用了特例法，所谓特例法，就是用特殊值特殊图形、特殊位置代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.特例法的理论依据智浪教育-普惠英才是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中.常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效.5．(2012·山东)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()．A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2＜3.答案A二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012·南昌模拟)设p：|4x－3|≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析p：|4x－3|≤1⇔12≤x≤1，q：(x－a)(x－a－1)≤0⇔a≤x≤a＋1由pq，得a≤12，a＋1≥1，解得：0≤a≤12.答案0，127．有三个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；(2)“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；(3)“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题．其中真命题的个数为________(填序号)．解析(1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假．答案18．(2012·长沙调研)定义：若对定义域D上的任意实数x都有f(x)＝0，则称函数f(x)为D上的零函数．根据以上定义，“f(x)是D上的零函数或g(x)是D上的零函数”为“f(x)与g(x)的积函数是D上的零函数”的________条件．解析设D＝(－1,1)，f(x)＝0，x∈－1，0]，x，x∈0，1，智浪教育-普惠英才g(x)＝x，x∈－1，0]，0，x∈0，1，显然F(x)＝f(x)·g(x)是定义域D上的零函数，但f(x)与g(x)都不是D上的零函数．答案充分不必要三、解答题(共23分)9．(11分)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0为真命题．用反证法证明：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0为真命题．因为原命题⇔它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可．∵a＋b≥0,∴a≥－b，b≥－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．所以逆否命题为真．10．(12分)若ab≠0，试证a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的充要条件是a＋b＝1.证明必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)·(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，又ab≠0，∴a2－ab＋b2＝(a－12b)2＋3b24≠0，因此a＋b－1＝0，即a＋b＝1.充分性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)智浪教育-普惠英才一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·湖北)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝a2＋b2－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的()．A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件解析若φ(a，b)＝0，即a2＋b2＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝a2＋b2－a－b＝b2－b＝0.故具备必要性．故选C.答案C2．(2012·浙江)若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜1b成立，如果a＜0，则b＜0，b＞1a成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a＜1b或b＞1a”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜1b或b＞1a”的必要条件；故“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的充分而不必要条件．答案A二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·安徽)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点．下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．解析对于①若x，y为整数，则x＋y也为整数．故直线x＋y＝2既不平行于坐标轴，也不经过任何整点，即①正确．对于②直线y＝2x－2过整点(1,0)，故②错误．对于③若直线l经过无穷多个整点，则一定过两个不同的整点．反之，若直线l经过两个不同的整点M(m1，n1)，N(m2，n2)，其中m1，m2，n1，n2均为整数．当m1＝m2或n1＝n2时，智浪教育-普惠英才直线l的方程为x＝m1或y＝n1，显然过无穷多个整点．当m1≠m2且n1≠n2时，直线l的方程为y－n1＝n1－n2m1－m2(x－m1)，则直线l过点((k＋1)m1－km2，(k＋1)·n1－kn2)，其中k∈Z.这些点均为整点且有无穷多个，即直线l总过无穷多个整点，故③正确．对于④当x，y为整数时，y－x还是整数，故直线y＝x＋12不经过任何整点，即当k，b为有理数时，并不能保证直线l：y＝kx＋b过无穷多个整点，故④错误．对于⑤直线y＝3x－3恰经过一个整点(1,0)，故⑤正确．答案①③⑤4．(2012·全国新课标改编)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p1：|a＋b|＞1⇔θ∈0，2π3p2：|a＋b|＞1⇔θ∈2π3，πp3：|a－b|＞1⇔θ∈0，π3p4：|a－b|＞1⇔θ∈π3，π其中真命题的个数是____________．解析由|a＋b|＞1可得a2＋2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＞－12，故θ∈0，2π3.当θ∈0，2π3时，a·b＞－12，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＞1，即|a＋b|＞1，故p1正确．由|a－b|＞1可得a2－2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＜12，故θ∈π3，π，反之也成立，p4正确．答案2三、解答题(共22分)5．(10分)判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．解法一写出逆否命题，再判断其真假．原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0.判断如下：∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a＜0，∴a＜－14＜0，∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”为真命题．智浪教育-普惠英才法二利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1＞0，∴方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1＞0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真．又∵原命题与其逆否命题等价，∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真命题．法三利用充要条件与集合关系判断．命题p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根，∴p：A＝{a∈R|a≥0}，q：B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0有实根}＝a∈R|a≥－14.即A⊆B，∴“若p，则q”为真，∴“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”为真．∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．6．(12分)已知命题p：x＋2≥0，x－10≤0，命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解p：x∈[－2,10]，q：x∈[1－m,1＋m]，m＞0，∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴p⇒q且q⇒/p.∴[－2,10][1－m,1＋m]．∴m＞0，1－m≤－2，1＋m≥10，∴m≥9.