第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题

智浪教育—普惠英才文库第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）题号一二三四总分得分得分评卷人一、填空题（每小题6分，共36分）1．如图1的A和B是抗日战争时期敌人要塞阵地的两个“母子碉堡”，被称为“母碉堡”A的半径是6米，“子碉堡”B的半径是3米，两个碉堡中心的距离80AB米．我侦察兵在安全地带P的视线恰好与敌人的“母子碉堡”都相切，为了打击敌人，必须准确地计算出点P到敌人两座碉堡中心的距离PA和PB的大小，请你利用圆的知识计算出____PA，____PB．2．小丽将一个边长为2a的正方形纸片ABCD折叠，顶点A落到CD边上的点M的位置，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图2）．在折叠过程中，小丽发现当点M在CD边上的任意位置时，（点CD，除外），CMG△的周长总是相等的，那么CMG△的周长为．3．国际蔬菜科技博览会开幕，学校将组织360名师生乘车参观．某客车出租公司有两种客车可供选择：甲种客车每辆40个座位，租金400元；乙种客车每辆50个座位，租金480元，则租用该公司客车最小需付租金元．4．光明路新华书店为了提倡人们“多读书，读好书”，每年都要开展分年级免费赠书活动，今年获得免费赠书的前提是：顺利通过书店前的ABC，，三个房间（在每个房间内都有一道题，若能在规定的时间内顺利答对这三道题，就可免费得到赠书），同学们你们想参加吗？快快行动吧！（请把答案写在每间房所提供的答题卡上）题目并不难哟，把答案写在下面吧！ABPMN图1ABCDEFGM图2A房间在ABC△中，2AB，2AC，30B，求BAC的度数．B房间已知直角三角形两边xy，的长满足224560xyy，求第三边的长．C房间O的半径2OA，弦ABAC，的长分别为方程2(2223)460xx的两个根，求BAC的度数．智浪教育—普惠英才文库A房间答题卡：；B房间答题卡：；C房间答题卡：．5．某校数学课外活动探究小组，在教师的引导下，对“函数(00)kyxxkx，的性质”作了如下探究：因为222()2()2()2kkkkyxxxkxkxxxx，所以当0x，0k时，函数kyxx有最小值2k，此时kxx，xk．借助上述性质：我们可以解决下面的问题：某工厂要建造一个长方体无盖污水处理池，其容积为34800m，深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价为元．6．某公司员工分别住在ABC，，三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图3所示．公司的接送车打算在A区，B区，C区中只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应在．得分评卷人二、选择题（每小题6分，共36分）7．如图是一个圆形的街心花园，ABC，，是圆周上的三个娱乐点，且ABC，，三等分圆周，街心花园内除了沿圆周的一条主要道路外还有经过圆心的沿AOB，BOC，AOC三条道路，一天早晨，有甲、乙两位晨练者同时从A点出发，其中甲沿着圆走回原处A，乙沿着AOB，BOC，COA也走回原处，假设他们行走的速度相同，则下列结论正确的是（）Ａ．甲先回到AＢ．乙先回到AＣ．同时回到AＤ．无法确定8．小明很喜欢打篮球，他是班里篮球队的主力队员，恰好这个星期他所在的九年级十个班要进行篮球比赛，比赛是每五个队进行单循环比赛，得分规则如下表，小组赛后总积分最高的两个队可以参加半决赛，若总积分相同还要按下一步的规则排序．胜平负每场得分310现在小明若想直接进入半决赛，问小明所在的队至少要积（）Ａ．9分Ｂ．10分Ｃ．11分Ｄ．12分100米200米A区B区C区图3ABCOm图4智浪教育—普惠英才文库9．如图5，ABC，，是固定在桌子上的三根立柱，其中A柱上穿有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大，现想将这三个圆片移动到B柱上，要求每次只能移动一片（叫移动一次），被移动的圆片只能放入ABC，，三个柱之一，且较大的圆片不能叠在小圆片的上面，那么完成这件事至少要移动圆片的次数是（）Ａ．6Ｂ．7Ｃ．8Ｄ．910．有红、黄、绿三块面积均为220cm的正方形纸片，放在一个底面是正方形的盒子内，它们之间互相叠合（如图6），已知露在外面的部分中，红色纸片面积是220cm，黄色纸片面积是214cm，绿色纸片面积是210cm，那么正方形盒子的底面积是（）Ａ．2256cm5Ｂ．254cmＣ．248cmＤ．2246cm511．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分，小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少套中一次，小明套10次得61分，则小鸡被套中（）Ａ．2次Ｂ．3次Ｃ．4次Ｄ．5次12．如图7，在边长是20m的正方形池塘周围是草地，池塘边ABCD，，，处各有一棵树，且4ABBCCDm，现用长5m的绳子将一头牛拴在一棵树上，为了使牛在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（）Ａ．A处或C处Ｂ．B处Ｃ．B处或D处Ｄ．D处得分评卷人三、解答题（本大题共3个小题，满分38分）13．（本题12分）阳光中学全体学生都办理了一种“学生团体住院医疗保险”，保险公司按下表中的级距分段计算付给被保险人的“住院医疗险金”．级别被保险人住院医疗费用级距保险公司给付比例11000元及以下部分55％21000元至4000元部分60％34000元至7000元部分70％47000元至10000元部分80％510000元至30000元部分90％630000以上部分95％（注：在被保险期间，被保险人按上述标准累计自付金额超过6000元的部分，保险公司按ABC图5空空黄14红20绿10图6ABCD图7智浪教育—普惠英才文库100％的标准给付）现在，该中学的学生李明因病住院，除去保险公司给付的“住院医疗保险金”外，李明的家人又支付了医疗费用3000元．请问保险公司为李明支付了多少保险金？14．（本题12分）轻纺城服装批发市场经营季节性服装，当季节即将来临时，服装价格呈上升趋势．设某种服装开始时预定价为每件10元，从第一周上市开始每周（7天）涨价2元，从第5周开始保持20元的价格平稳销售；在季节即将过去时，从第11周开始，服装批发市场开始削价，平均每周削价2元，直到16周周末后，该服装已不再销售．（1）试建立价格y与周次x之间的函数关系；（2）若此服装每件进价Q与周次x之间的关系为：20.125(8)12(016)Qxxx且是整数≤≤，，试问该服装第几周每件销售利润M最大？15．（本题14分）如图8，某房地产开发公司购得一块三角形地块，在靠近B的内部有一千年的古樟树要加以保护，市政府规定要过P点划一三角形的保护区，你怎样划这条线才能使被划去的BDE△的面积最小？为什么？得分评卷人ABCP图8智浪教育—普惠英才文库四、开放题（本大题满分40分）16．（本题20分）在生活中不难发现这样的例子：三个量ab，和c之间存在着数量关系abc．例如：长方形面积＝长×宽，匀速运动的路程＝速度×时间．（1）如果三个量ab，和c之间有着数量关系abc，那么：①当0a时，必须且只须；②当b（或c）为非零定值时，a与c（或b）之间成函数关系；③当(0)aa为定值时，b与c之间成函数关系．（2）请你编一道有实际意义的应用性问题，解题所列的方程符合数量关系：abxxc，（其中x为未知数，abc，，为已知数，不必解方程）．17．（本题20分）金字塔是古代世界著名的奇迹之一，矗立在尼罗河西岸的70多座金字塔，每年都吸引着来自世界各地的游客，流连在金字塔下，抬眼望去，几十层楼高的塔像柄巨剑直刺云天，显得气势非凡．此刻，游人心里很自然地会想：金字塔究竟有多高呢？假设你是一位游人，如何测量金字塔的高度呢？写出你的测量方案，并说明理由（注意：至少提供两种测量方案，并且，你的方案一定要切实可行）．第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题卷参考答案一、填空题（每小题6分，共36分）1．160米，80米2．4a3．3520元4．A：105或15；B：22或13或5；C：15或755．2976006．A区二、选择题（每小题6分，共36分）7～12．ＣＢＢＡＤＢ三、解答题（13题12分，14题12分，15题14分，满分38分）13．解：当住院医疗费为7000元时，被保险人应支付：智浪教育—普惠英才文库1000(155)3000(160)3000(170)2550％％％（元）．由于李明家支付费用30002550元元，所以李明住院的医疗费用在7000元至10000元之间（即第4级别）．··············5分所以超过7000元部分的医疗费为：(30002550)(180)2250％元．所以保险公司为李明给付的保险费应为：7000225030006250元．···11分答：保险公司要再为李明给付保险金6250元（付给医院）．···························12分14．解：（1）根据价格的“上升”、“平稳”、“削价”，建立分段函数．102(05)120(510)3402(1016)5xxxyxxxxx且是整数且是整数且是整数分分分≤≤，…………≤≤，………≤≤，………（2）每件利润＝每件售价－每件进价，即MyQ，所以当05x≤≤时，221020.125(8)120.1256Mxxx．所以当5x时，M取最大值9.125元．·····················································7分当510x≤≤时，20.125216Mxx．所以当5x时，M取最大值9.125元．·····················································9分当1016x≤≤时，20.125436Mxx．所以当10x时，M取最大值8.5元．·······················································11分以上x的取值均为整数，因此，该服装第5周每件销售利润M最大．················12分15．过P作直线DEAB∥，交BC于D，交AC于E，在BC上取点F，使DFBD，延长FP交AB于点G，则BFG△的面积最小．··········································6分证明：若过P任作一直线，交BC于M，交AB于N，过G作GKBC∥，交MN于K．·····························································8分由DPAB∥，BDDF知：DP是BFG△的中位线，得PGPF．进而可得MPFKPG△△≌．···································································12分NPGMPFSS△△，所以BMNBFGSS△△．·····················································14分四、开放题（每小题20分，共40分）16．（1）①b或c中有一个为零；②正比例；③反比例．（每空2分，共6分）（2）答案不惟一．评分标准：（满分共计14分）ABCPDEFGMNK智浪教育—普惠英才文库①编写题目符合实际（5分）；②解题所列方程符合所要求的数量关系（7分）；③题目新颖、有创新意义（2分）．17．方案一：应用相似三角形知识如图1所示：在距离金字塔一定距离的DF，两点，分别竖立两个竿CD和EF（长度都为h），当人分别站在MN，两点时能保证ACAE，，，分别在一条直线上测出MNFNMD，，的距离，则塔高即可得到（其中人的高度忽略不计）．理由