(2010年)南昌市高中数学竞赛试题3

南昌市高中数学竞赛试题3答案一、填空题（共8题，每题10分，合计80分）1、十二个互不相同的正整数之和为2010，则这些正整数的最大公约数的最大值是．答案：15．解：设最大公约数为d，12个数分别为1212,,,adadad，其中1212(,,,)1aaa，记121iiSa，则2010Sd，欲使d最大，当使S取最小，由于1212,,,aaa互异，则121278S，因2010S，但201023567，其大于67的最小正因数是267134，所以15d，且15d可以取到，只需令121112(,,,,)(1,2,,11,68)aaaa即可．2、函数2()2fxax（0a），若((2))2ff，则a．答案：22.解：由22(2)222aa，即2220aa，所以22a3、设1223(1)nann，则2nan．答案：1n解：因1(1)2kkkk，所以111()2nnnkkkak，即(1)(2)22nnnnna，所以21nann．4、设2,4,7,8,13,15A.如果非空集合M满足M的各元素加4后成为A的一个子集，M的各元素减4后也成为A的一个子集，则M=．答案：11M解：取14,2,0,3,4,9,11AxxaaA，24,6,10,11,12,17,19AxxaaA，1211MAA，因M非空，11M.5、若[0,)x，则函数sincos1sincosxxyxx的值域是．答案：211,2解：令sincostxx，则21sincos2txx，于是12ty，又2sin()4tx，因5444x，则2sin()(,142x，即(1,2]t，因此212(1,]y．6、设函数():fxRR，且满足对任意的,xyR,()()(23)3()3()6.fxfyfxyfxyfxx则()fx_____________________.答案：()23fxx解：交换,xy得3()63()6fxxfyy，故()2fxx为常数.设()2fxxa，由(2)(2)2(23)3(22)3(2)6xayaxyaxyaxax，得22()(3)6(3)(2)xyaaaaa，即(3)(1)02aaxy，上式对任何实数,xy皆成立.故3a，则()23fxx.7、数列na满足：2111,nnaaan，则15a．答案：104.解:条件21nnaan可改写为221(1)1()()02222nnnnnnaa,若令222nnnnba,则11b,且1nnbb,所以2121,1kkbb,1,2,k,于是151b,即有2151515110422a．8、如果四位数n的四个数位中至多含有两个不同的数码，则称n为“简单四位数”；例如5555和3313等等，那么，简单四位数的个数是．答案：576．解：如果四位数的四个数码都相同，则这种四位数有9个；如果四位数的四个数码有两个值，首位数{1,2,,9}a有9种取法，当首位数a填好后，再任取{0,1,2,,9}b，且ba，选取b的方法有9种；后三个数位中，每一位置都可填a或b，但是不能后三位全填a，有3217种填法，即四个数码有两个值的情况有997567种；因此简单四位数共有9567576个．二、解答题（共3题，合计44分）9、（20分）M是正三角形123AAA的中心，N是其所在平面上的任意一点，以MN为直径的圆分别交直线iMA于iB，1,2,3i；证明：222222123123MBMBMBNBNBNB．证：由123,,,,MBBNB五点共圆，013120BMB，可知012360BBB，0132121260BBBBMBAMB，所以123BBB为正三角形；设其边长为a，先证引理：P是正三角形ABC外接圆上的任一点，则222PAPBPC为定值.事实上，设ABC的边长为a，,,PAxPByPCz，则有xyz，因此222222()xyzyzyz222()yzyz2222BCa，故引理成立.由引理立得，22222221231232MBMBMBaNBNBNB.10、（25分）设0,1,2,,ixin，约定11nxx，证明：2122111(1)(1)2nkkkkxnxx．证：因0,1,2,,ixin，令2tan,[0,),1,2,,2kkkxkn约定11n，则212211(1)(1)kkkxxx441cossinkk2221(cossin)2kk221cossin2kk，MA2A1B2B1B3NA3PCBA所以2221122111cossin1(1)(1)22nnkkkkkkkxnxx11、（25分）一次足球邀请赛共安排了n支球队参加，每支球队预定的比赛场数分别是12,,,nmmm，如果任两支球队之间至多安排了一场比赛，则称12(,,,)nmmm是一个有效安排；证明：如果12(,,,)nmmm是一个有效安排，且12nmmm，则可取掉一支球队，并重新调整各队之间的对局情况，使得112312(1,1,,1,,,)mmnmmmmm也是一个有效安排．证：设预定比赛im场的队为iA，1,2,,in；（01）、如果1A的1m场比赛，其对手恰好就是1231,,,mAAA，那么，直接去掉1A（当然1A所参与的所有比赛也就被取消了），则剩下的队23,,,nAAA之间的比赛，以112312(1,1,,1,,,)mmnmmmmm为有效安排．（02）、如果球队23,,,nAAA中，有些队并未安排与1A比赛，设在1231,,,mAAA中，自左至右，第一个未安排与1A比赛的队是jA，由于1A要赛1m场，那么在1231,,,mAAA之外必有一个队安排了与1A比赛，设为1,(1)kAmkn，由于jkmm，故必有一个队sA，它被安排了与jA比赛而未安排与kA比赛，如图所示．今对原安排作如下调整：取消1,kAA两队间、,jsAA两队间的比赛，改为1,jAA两队间，,skAA两队间进行比赛，其它比赛安排不变；经过这一次调整之后，所有球队的比赛场数不变，且是一个有效安排．而第一个不与1A比赛的队的序号，至少后移了一个位置；故经有限次这样的调整之后，就化成了情形（01），因此结论得证．A1AsAjAkA1AjAsAk