[2007全国赛]2007年全国初中数学联合竞赛试题第一、二试(含答案)

2007年全国初中数学联合竞赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为DCBA,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1.已知zyx,,满足xzzyx532，则zyyx25的值为（）（A）1.（B）31.（C）31.（D）21.【答】B.解由xzzyx532得xzxy23,3，所以31333525xxxxzyyx，故选（B）.注：本题也可用特殊值法来判断.2．当x分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx的值，将所得的结果相加，其和等于（）（A）－1.（B）1.（C）0.（D）2007.【答】C.解因为222211)1(1)1(1nnnn011112222nnnn，即当x分别取值n1，nn(为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1x时，0111122.因此，当x分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C）.3.设cba,,是△ABC的三边长，二次函数2)2(2bacxxbay在1x时取最小值b58，则△ABC是（）（A）等腰三角形.（B）锐角三角形.（C）钝角三角形.（D）直角三角形.【答】D.解由题意可得,5822,1)2(2bbacbabac即,53,2bcacb所以bc53，ba54，因此222bca，所以△ABC是直角三角形.故选（D）.4.已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，则∠A的度数是（）（A）30°.（B）45°.（C）60°.（D）75°.【答】C.解锐角△ABC的垂心在三角形内部，如图，设△ABC的外心为O，D为BC的中点，BO的延长线交⊙O于点E，连CE、AE，则CE//AH，AE//CH，则ODCEAHOB2，所以∠OBD＝30°，∠BOD＝60°，所以∠A＝∠BOD＝60°.故选（C）.5．设K是△ABC内任意一点，△KAB、△KBC、△KCA的重心分别为D、E、F，则ABCDEFSS△△:的值为（）（A）91.（B）92.（C）94.（D）32.【答】A.解分别延长KD、KE、KF，与△ABC的三边AB、BC、CA交于点M、N、P，由于D、E、F分别为△KAB、△KBC、△KCA的重心，易知M、N、P分别为AB、BC、CA的中点，所以ABCMNPSS△△41.易证△DEF∽△MNP，且相似比为3:2，所以MNPDEFSS△△2)32(ABCS△4194ABCS△91.所以:DEFS△19ABCS△.故选（A）.6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（）（A）101.（B）51.（C）103.（D）52.【答】B.解设摸出的15个球中有x个红球、y个黑球、z个白球，则zyx,,都是正整数，且7,6,5zyx，15zyx.因为13zy，所以x可取值2，3，4，5.当2x时，只有一种可能，即7,6zy；当3x时，12zy，有2种可能，7,5zy或6,6zy；AECBDOH当4x时，11zy，有3种可能，7,4zy或6,5zy或5,6zy；当5x时，10zy，有4种可能，7,3zy或6,4zy或5,5zy或4,6zy.因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102.故选（B）.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.设121x，a是x的小数部分，b是x的小数部分，则abba333____1___.解∵12121x，而3122，∴122xa.又∵12x，而2123，∴22)3(xb.∴1ba，∴abba333abbababa3))((221)(3222baabbaba.2.对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程22(2)20xnxn的两个根记作nnba,（2n），则)2)(2(122ba)2)(2(133ba)2)(2(120072007ba=.10034016解由根与系数的关系得2nbann，22nnabn，所以)2)(2(nnba(2nnba4)nnba222(2)42(1)nnnn，则11111()(2)(2)2(1)21nnabnnnn，)2)(2(122ba)2)(2(133ba)2)(2(120072007ba＝11111111111003()()()()22334200720082220084016.3.已知直角梯形ABCD的四条边长分别为6,10,2ADCDBCAB，过B、D两点作圆,与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BFBE的值为____4_____.解延长CD交⊙O于点G，设DGBE,的中点分别为点NM,，则ABCDEFGMN易知DNAM.因为10CDBC，由割线定理，易证DGBF，所以42)(2)(2ABAMBMDNBMDGBEBFBE.4．若64100a和64201a均为四位数，且均为完全平方数，则整数a的值是___17____.解设264100ma，264201na，则100,32nm，两式相减得))((10122mnmnmna，因为101是质数，且101101mn，所以101mn，故1012nmna.代入264201na，整理得0202374022nn，解得59n，或343n（舍去）.所以171012na.第二试（A）一、（本题满分20分）设nm,为正整数，且2m，如果对一切实数t，二次函数mtxmtxy3)3(2的图象与x轴的两个交点间的距离不小于2tn，求nm,的值.解因为一元二次方程03)3(2mtxmtx的两根分别为mt和3，所以二次函数mtxmtxy3)3(2的图象与x轴的两个交点间的距离为3mt.由题意，32mttn，即22(3)(2)mttn，即222(4)(64)90mtmntn.由题意知，042m，且上式对一切实数t恒成立，所以,0)9)(4(4)46(,042222nmnmm22,4(6)0,mmn,6,2mnm所以,2,3nm或.1,6nm二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N.证明：∠AFN=∠DME.证明设MN与EF交于点P，∵NE//BC，∴△PNE∽△PBC，∴PCPEPBPN,∴PCPNPEPB.又∵ME//BF，∴△PME∽△PBF，∴PFPEPBPM,∴PFPMPEPB.ABCDEFMNP∴PFPMPCPN,故PFPCPNPM又∠FPN=∠MPE，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF//MC∴∠ANF＝∠EDM.又∵ME//BF，∴∠FAN＝∠MED.∴∠ANF＋∠FAN＝∠EDM＋∠MED，∴∠AFN=∠DME.三、（本题满分25分）已知a是正整数，如果关于x的方程056)38()17(23xaxax的根都是整数，求a的值及方程的整数根.解观察易知，方程有一个整数根11x，将方程的左边分解因式，得056)18()1(2xaxx因为a是正整数，所以关于x的方程056)18(2xax（1）的判别式0224)18(2a，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2a应该是一个完全平方数.设22224)18(ka（其中k为非负整数），则224)18(22ka，即224)18)(18(kaka.显然ka18与ka18的奇偶性相同，且1818ka，而8284562112224，所以,218,11218kaka或,418,5618kaka或,818,2818kaka解得,55,39ka或,26,12ka或,10,0ka而a是正整数，所以只可能,55,39ka或.26,12ka当39a时，方程（1）即056572xx，它的两根分别为1和56.此时原方程的三个根为1，1和56.当12a时，方程（1）即056302xx，它的两根分别为2和28.此时原方程的三个根为1，2和28.第二试（B）一、（本题满分20分）设nm,为正整数，且2m，二次函数mtxmtxy3)3(2的图象与x轴的两个交点间的距离为1d，二次函数ntxntxy2)2(2的图象与x轴的两个交点间的距离为2d.如果21dd对一切实数t恒成立，求nm,的值.解因为一元二次方程03)3(2mtxmtx的两根分别为mt和3，所以31mtd；一元二次方程02)2(2ntxntx的两根分别为t2和n，所以ntd22.所以，21dd22)2()3(23ntmtntmt09)46()4(222ntnmtm（1）由题意知，042m，且（1）式对一切实数t恒成立，所以,0)9)(4(4)46(,042222nmnmm22,4(6)0,mmn,6,2mnm所以,2,3nm或.1,6nm二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a是正整数，二次函数axaxy38)17(2，反比例函数xy56，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值.解联立方程组,56,38)17(2xyaxaxy消去y得axax38)17(2x56，即056)38()17(23xaxax，分解因式得056)18()1(2xaxx（1）显然11x是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为a是正整数，所以关于x的方程056)18(2xax（2）的判别式0224)18(2a，它一定有两个不同的实数根.而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2a应该是一个完全平方数.设22224)18(ka（其中k为非负整数），则224)18(22ka，即224)18)(18(kaka.显然ka18与ka18的奇偶性相同，且1818ka，而8284562112224，