[初中数学竞赛]2006年全国初中数学联赛试题及答案

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填得零分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）.（A）36（B）37（C）55（D）90答：C．解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.故选C．2．已知21m，21n，且8)763)(147(22nnamm，则a的值等于（）（A）－5（B）5（C）－9（D）9答：C．解：由已知可得122mm，122nn．又8)763)(147(22nnamm，所以8737a，解得9a．故选C．3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线2yx上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）（A）1h（B）1h（C）21h（D）2h答：B．解：设点A的坐标为),(2aa，点C的坐标为),(2cc（ca），则点B的坐标为),(2aa，由勾股定理，得22222)()(acacAC，22222)()(acacBC，222ABBCAC，所以22222)(caca．由于22ac，所以221ac，故斜边AB上高h221ac．故选B．4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A）2004（B）2005（C）2006（D）2007答：B．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k次后，可得（k＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（k＋1）×360°．因为这（k＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×（62－2）×180°=34×60×180°，其余多边形有（k＋1）－34＝k－33（个），而这些多边形的内角和不少于（k－33）×180°．所以（k＋1）×360°≥34×60×180°＋（k－33）×180°，解得k≥2005．当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58＝2005（刀）．故选B．5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，DP交AC于点Q．若QOQP，则QAQC的值为（）（A）132（B）32（C）23（D）23答：D．解：如图，设⊙O的半径为r，mQO，则mQP，mrQC，mrQA．在⊙O中，根据相交弦定理，得QDQPQCQA．即QDmmrmr))((，所以mmrQD22．连结DO，由勾股定理，得222QODOQD，即22222mrmmr，解得rm33．所以，231313mrmrQAQC．故选D．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a，b，c为整数，且a＋b＝2006，ac＝2005．若a＜b，则a＋b＋c的最大值为．答：5013．解：由a＋b＝2006，ac＝2005，得a＋b＋c＝a＋4011．因为a＋b＝2006，a＜b，a为整数，所以，a的最大值为1002．（第5题图）（第5题答案图）于是，a＋b＋c的最大值为5013．7．如图，面积为cba的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则bca的值等于.答：320．解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则342m．由△ADG∽△ABC，可得mxmmx2323，解得mx)332(．于是48328)332(222mx，由题意，a＝28，b＝3,c＝48，所以320bca.8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分.那么，出发后经过分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．答：104．解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了xx3685040046米．于是400)1(400800)1(368xx，且xx400)800368(≤400，所以，5.12≤x＜5.13．故x=13，此时1045013400t．9．已知01a，且满足（第7题图）122918303030aaa（x表示不超过x的最大整数），则10a的值等于．答：6．解：因为122902303030aaa，所以130a，230a，…，2930a等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以130a＝230a＝…＝1130a＝0，1230a＝1330a＝…＝2930a＝1，所以130110a，1≤3012a＜2．故18≤a30＜19，于是6≤a10＜319，所以10a6．10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．答：282500．解：设原来电话号码的六位数为abcdef，则经过两次升位后电话号码的八位数为bcdefa82．根据题意，有81×abcdef＝bcdefa82．记43210101010xbcdef，于是5568110812081010axax，解得)71208(1250ax．因为0≤x≤510，所以0≤)71208(1250a＜510，故71128＜a≤71208．因为a为整数，所以a＝2．于是82500)271208(1250x．所以，小明家原来的电话号码为282500．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．已知△ABC中，B是锐角．从顶点A向BC边或其延长线作垂线，垂足为D；从顶点C向AB边或其延长线作垂线，垂足为E．当BCBD2和ABBE2均为正整数时，△ABC是什么三角形？并证明你的结论．解：设,2mBCBDnABBE2，,mn均为正整数，则244cos4BDBEmnBABBC，所以，mn＝1，2，3．…………………5分（1）当mn＝1时，1cos2B，60B，此时1nm．所以AD垂直平分BC，CE垂直平分AB，于是△ABC是等边三角形．（2）当mn＝2时，2cos2B，45B，此时2,1nm，或1,2nm，所以点E与点A重合，或点D与点C重合．故90BAC，或90BCA，于是△ABC是等腰直角三角形．（3）mn＝3时，3cos2B，30B，此时3,1nm，或1,3nm．于是AD垂直平分BC，或CE垂直平分AB．故30ACB，或30BAC，于是△ABC是顶角为120的等腰三角形．…………………15分12．证明：存在无穷多对正整数,mn，满足方程2225107()mnmnmn．证法1：原方程可以写为22(107)2570mnmnn，于是221074(257)16849nnnn是完全平方数．…………………5分设21684949(121)nk，其中k是任意一个正整数，则2427nkk．…………………10分于是210710(427)77(121)22nkkkm22107kk，或2210777kk．所以，存在无穷多对正整数,mn222107,427kkkk（其中k是正整数）满足题设方程．…………………15分证法2：原方程可写为257mnmn，所以可设27mnx（x是正整数），①取57mnx．②…………………5分①－②得67(1)nxx．令6xy（y是任意正整数），则2427nyy．…………………10分于是2227364272107myyyyy．所以，存在无穷多对正整数,mn222107,427yyyy（其中y是任意正整数）满足题设方程．…………………15分13．如图，已知锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线．分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线相交于点X，连结AX．求证：BACAXAMcos．证明：设AX与⊙O相交于点1A，连结OB，OC，1OA．又M为BC的中点，所以，连结OX，它过点M．因为,OBBXOXBC，所以2XBXMXO．①又由切割线定理得21XBXAXA．②…………………5分由①，②得1XAXMXAXO，于是△XMA∽△1XAO，所以1OAAMOBAXOXOX．…………………10分又2BOCBAC，所以BOXBAC，于是BACOXOBAXAMcos．…………………15分14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：n的最小值为6．证明：设10个学生为1210,,,SSS，n个课外小组为12,,,nGGG．（第13（B）题图）（第13（B）题答案图）首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为1S，由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．…………………5分若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设1S恰好参加12,GG，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与1S没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n个课外小组12,,,nGGG的人数之和不小于310＝30．另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组12,,,nGGG的人数不超过5n，故n5≥30，所以n≥6．…………………10分下面构造一个例子说明6n是可以的．112345,,,,GSSSSS，212678,,,,GSSSSS，3136910,,,,GSSSSS，4247910,,,,GSSSSS，535789,,,,GSSSSS，6456810,,,,GSSSSS．容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．所以，n的最小值为6．…………………15分