06历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答第６届（1972年于罗马尼亚的布加勒斯特）【题１】给定三个圆柱，它们的长度、外径和质量均相同。第一个是实心圆柱；第二个是空心圆筒，壁有一定厚度；第三个是同样壁厚的圆筒，但两端用薄片封闭，里面充满一种密度与筒壁相同的液体。如将它们放在倾角α为的斜面上，如图6.1所示，求出并比较这些圆柱的线加速度。研究光滑滚动与又滚又滑两种情况。圆柱与斜面的摩擦系数为μ，液体与筒壁之间的摩擦可以忽略。解：沿斜面方向作用在圆柱上的力是：作用于质心重力的分量mgsin和作用于接触点的摩擦力S，如图6.1所示。产生的加速度a：ma＝mgsin－S纯滚动时的角加速度为：Ra＝转动的运动方程为：IRaRS以上方程组的解为：21sinmRIga221sinmRImRImgS（１）当S达到最大可能值μmgcos时，也就到了纯滚动的极限情形，这时：221sincosmRImRImgmghhmgsinSR1,3,5即维持纯滚动的极限条件为)1(tan2ImRh（２）下面我们来研究三个圆柱体的纯滚动情形。（Ⅰ）实心圆柱的转动惯量为221mRI从（１）式和（２）式分别得到sin32ga，tanah＝３μ角加速度为：β＝Ra（Ⅱ）设空心圆筒壁的密度是实心圆柱密度的n倍。因已知圆柱的质量是相等的，故可以算出圆筒空腔的半径r：)(222rRLnLR即nnRr122转动惯量为：nnmRrLRnRLRnI125.05.05.022222由（１）式和（２）式分别算出：sin142gnna，1214tannnh角加速度为：β＝Ra（Ⅲ）对充满液体的圆筒，因液体与筒壁之间无摩擦力，故液体不转动。总质量为m，但转动惯量只需对圆筒壁计算：nnmRrLRnRLRnI125.05.05.022222由（１）式和（２）式分别算出：sin12222gnnna２，12122tan2nnnh角加速度为：β＝Ra现在比较三个圆柱体的运动特点：线加速度和角加速度之比为：1∶143nn∶122322nnn极限角正切之比为：1∶)22(314nn∶)12(31222nnn如果斜面倾角超过极限角，则圆柱又滑又滚。此时三个圆柱体的摩擦力均为μmgcos，故线加速度相同，为：a＝g（sin－cos）角加速度由ImgRcos＝给出，但转动惯量在三种情况下各不相同。因此，若圆柱体又滚又滑，则三种情况下的角加速度分别为：gRcos21gnnR12cos22gnnR12cos223【题２】有两个底面积为1dm2的圆筒，如图6.2所示，左方圆筒装有一种气体，气体的质量4g，体积22.4L，压强1atm，温度00C。右方圆筒装有同种气体，气体的质量7.44g，体积22.4L，压强1atm，温度00C。左方圆筒筒壁绝热，右方圆筒靠一个大热库维持温度00C。整个系统在真空中。放开活塞，它移动了5dm后达到平衡并静止。试问右方圆筒中的气体吸收了多少热量？气体等容比热为0.75cal/g•K。00C图6.2解：放开连杆前，右方气体压强为：7.44/4＝1.86（atm）在达到平衡时，左方气体体积为22.4＋5＝17.4（dm3），右方气体体积为22.4＋5＝27.4（dm3）。左方气体经绝热过程升高温度到T，压强为p。右方气体经等温膨胀到同一压强。等温膨胀由下式表示：1.86×22.4＝×27.4解得：p＝1.521atm对左方气体应用绝热过程定律，得：1×22.4k＝1.521×17.4k由此可求得比热之商k如下521.1)4.174.22(k1.2874k＝1.521k＝1.66（看来它是一种单原子气体：氦。）左方气体的温度可从状态方程算出：T4.17521.12734.221解得：T＝322.5Kt＝49.50C在这个过程中，右方气体的温度没有改变，它吸收了0.75×4×49.5＝148.5cal的热量，这些热量表现为气体的内能注。（注：此处是指左方气体的内能。因为右方气体等温膨胀，所吸收的热量等于它对左方气体所作的功。左方气体绝热压缩，右方气体对它所作的功等于左方气体内能的增量。）【题３】将焦距为f的一个透镜，沿其表面的垂直方向切割成两部分。把两个半透镜移开一段小距离δ，如果在透镜的一方距离t＞f处放置一个单色点光源，问在透镜的另一方距离H处的屏幕上将出现多少干涉条纹？解：由两部分透镜所产生的像是相干光源，所以可以发生干涉。设两个点光源的距离为d，若光程差等于波长λ，则在h远处的屏幕上将出现第一个极强，如解图6.1所示。即：dsin＝λ解图6.1由于是小角，取近似hSsin，各级极强的间距为：hdS，dhS下面计算两个焦点的位置。一个点光源位于焦距为f的透镜前t距离处，它产生的实像位于fttfk，如解图6.2所示。dhSdtkHK1K2ABhD解图6.2若切口的宽度为δ，则两实像点间的距离可从下列比例式中得到：tktd因此ftttktd像点K1和K2是相干光源。它们发射出来的光束的干涉在屏幕上观察到。条纹的间距为dhS，其中d为已知。屏幕到像点的距离为：fttfftHkHh)(在此实验中，条纹间距为：tfftHtS)(干涉条纹出现在K1和K2发出的两束光交叠处。由相似三角形求得两束光交叠部分的直径为tthD用S除D，得条纹数目为tfftHtHSDN)(2如果f＝10cm，t＝20cm，δ＝0.1cm，λ＝0.5μm，H＝50cm，则得N＝46.6。当屏幕比A点更近时，对D必须另作计算。如屏幕在B点以内，则无干涉条纹。【实验题】给定两个圆柱体，它们的大小、形状、材料均相同，其一是实心体，另一个内部有一个与圆柱轴平行的圆柱形空腔。后者两端用薄片封闭。试确定材料密度，以及空腔轴与圆柱轴之间的距离。解答：实心圆柱体的密度可由其质量和体积确定。其次我们测量有空腔的圆柱体的质量，根据两个圆柱体质量之差，算出空腔的体积和直径。为求出两轴的距离，可以用几种方法。例如，把圆柱体放在水平面上。确定使它恢复平衡的力矩最大时的位置，这时两轴构成的平面是水平面，由于知道了空腔的大小，便可算出轴间距离。另一种方法在于测定圆柱体对空1,3,5腔最近或最远的那条母线的转动惯量。