11年大学物理竞赛指导经典力学选例

大学物理竞赛指导-经典力学选例一．质点运动学基本内容：位置，速度，加速度，他们的微积分关系，自然坐标下切、法向加速度，*极坐标下径向速度，横向速度，直线运动，抛物运动，圆周运动，角量描述，相对运动1.运动学中的两类问题(1)已知运动方程求质点的速度、加速度。这类问题主要是利用求导数的方法。例1一艘船以速率ｕ驶向码头P，另一艘船以速率v自码头离去，试证当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为：cos:cosvvuu设航路均为直线，为两直线的夹角。证：设任一时刻船与码头的距离为x、y，两船的距离为l，则有cos2222xyyxl对ｔ求导，得txytyxtyytxxtllddcos2ddcos2dd2dd2dd2将v,tyutxdddd代入上式，并应用0ddtl作为求极值的条件，则得coscos0yuxyuxvvcoscosuyuxvv由此可求得coscosvvuuyx即当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为coscosv:vuu(2)已知质点加速度函数a＝a(x，v，t)以及初始条件，建立质点的运动方程。这类问题主要用积分方法。例2一质点从静止开始作直线运动，开始时加速度为a0，此后加速度随时间均匀增加，经过时间后，加速度为2a0，经过时间2后，加速度为3a0,…求经过时间n后，该质点的速度和走过的距离。解：设质点的加速度为a=a0+t∵t=时，a=2a0∴=a0/即a=a0+a0t/，由a=dv/dt，得dv=adtttaatd)/(d0000vv∴2002tatavABPxyuvl由v=ds/dt，ds=vdtttatatsttsd)2(dd200000v302062tatast=n时，质点的速度0)2(21annnv质点走过的距离202)3(61annsn2.相对运动例3有一宽为l的大江，江水由北向南流去．设江中心流速为u0，靠两岸的流速为零．江中任一点的流速与江中心流速之差是和江心至该点距离的平方成正比．今有相对于水的速度为0v的汽船由西岸出发,向东偏北45°方向航行，试求其航线的轨迹方程以及到达东岸的地点．解：以出发点为坐标原点，向东取为x轴，向北取为y轴，因流速为y方向，由题意可得ux=0uy=a(xl/2)2＋b令x=0,x=l处uy=0,x=l/2处uy＝－u0，代入上式定出a＝4u0/l2、ｂ＝－u0，而得xxlluuy204船相对于岸的速度v(vx，vy)明显可知是2/0vvxyyu)2/(0vv，将上二式的第一式进行积分，有tx20v还有，xytxxytyydd2dddddd0vv=xxllu20042v即xxlluxy020241ddv因此，积分之后可求得如下的轨迹(航线)方程：302020032422xluxluxyvv到达东岸的地点(x，y)为003231v,ulyylxlxy45°v0u0xl二．质点动力学1.牛顿运动定律基本内容：牛顿运动三定律，惯性力(1)运用微积分处理力学问题：根据力函数的形式选择运动定律的形式；正确地分离变量例4如例4图，光滑水平面上固定一半径为r的薄圆筒，质量为m的物体在筒内以初速率v0沿筒的内壁逆时针方向运动，物体与筒内壁接触处的摩擦系数为μ。求：(1)作用在物体上的摩擦力；(2)物体的切向加速度；(3)物体速度从v0减小到v0/3所需的时间和经历的路程。解由题意知物体作半径为r的圆周运动，设任一时刻t物体的速率为v，受力情况如例4图所示，N和f分别是环内壁作用在物体上的弹力和摩擦力，物体所受重力和水平面的支承力在竖直方向相互平衡，图中未画出。在自然坐标系中的分量式是2(2.31)(2.32)nvNmamrdvfmamdt法向切向(1)由2vdvfNmmrdt，得2rdvdtv两边积分020tvvrdvdtv得011()rtvv故00vrvrvt再由摩擦力公式和(2.31)式得22020()mvrvfNmrrvt即摩擦力随时间t逐渐减小；方向沿圆周切向与物体相对于筒的运动方向相反。(2)由(2.32)式得22020()vrfvamrrvt(3)当03vv时，有0003vvrrvt得02rtv再由dsvdt，有00rvdsvdtdtrvt两边积分0sds＝rv0020vrdtr＋μv0t得s＝rμln(r＋μv0t)|020vr＝rμln3例50036，绳子张力一条质量分布均匀的绳子，质量为M、长度为L，一端拴在竖直转轴OO′上，并以恒定角速度在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T(r)．解：取距转轴为r处，长为dr的小段绳子，其质量为(M/L)dr．(取元，画元的受力图)由于绳子作圆周运动，所以小段绳子有径向加速度，由牛顿定律得：T(r)T(r+dr)=(M/L)drr2令T(r)－T(r+dr)=dT(r)得dT=－(M2/L)rdr由于绳子的末端是自由端T(L)=0有rrLMTLrrTd)/(d20)(∴)2/()()(222LrLMrT(2)牛顿定律只在惯性系中成立，非惯性系中应用相对运动关系式或引入惯性力。LOO′rOO′drT(r)T(r+dr)例6一光滑直杆OA与竖直轴Oz成角（为常数）．直杆以匀角速度绕Oz轴转动，杆上有一质量为m的小滑环，在距O点为l处与直杆相对静止如图示．试以OA杆为参考系求出此时杆的角速度，并讨论小滑环是否处于稳定平衡？解：(1)取杆OA为参考系，小环处于静止状态，受力如图：gm、N及惯性离心力F三者合力为零.0FNgm其中2)sin(lmF①将①式沿OA杆方向取投影可得0cossin)sin(2mglm②∴lgcossin1(2)因为N与杆是垂直的，故无论N取何值，都不影响小环沿杆的运动．现假定小环受到一个扰动，向杆A端发生一位移l，即l大于零．由上面②式知：cossin])[(2mgllm即惯性离心力F′沿杆的分量大于重力沿杆的分量，二者方向相反，合力指向杆的A端，故小环将沿杆向A端加速，不能再返回平衡位置．反之，如小环向O端发生一l位移，此时l0，故cossin])[(2mgllm小环将受到一个指向杆O端的合力，也不会再返回平衡位置，∴小环所处平衡是不稳定平衡．2.动量定理及守恒定律基本内容：质点及质点系动量定理，动量守恒定律，质心及其运动定理(1)若10niiF外，则系统无论在哪个方向动量都守恒；若10niiF外，但系统在某一方向上的合外力为零，则该方向上动量守恒。(2)碰撞、打击问题中，在Δt→0时，只能忽略恒定的有限大小的主动外力(例如重力)，而随碰撞而变化的被动外力(例如支持力)一般是不能忽略的。(3)若遇到变质量系统，要正确分析出t时刻和(t＋dt)时刻的动量。例7：可变质量系统图示一辆总质量为M的装满砂子的小车，车下有一可调节的小孔，当小孔打开时，砂子从小孔中竖直漏出．设每秒均匀漏出砂子的质量为m，当小车在水平恒力F的作用下，在水平地面上由静止开始运动时，砂子也同时开始从小孔中漏出．如果小车行进时的摩擦可以忽略不计，试由动量定理证明t时刻小车的运动速度和加速度分别为mtMMmFlnv,mtMFa证：设t时刻小车的质量为mtMtm)(，小车的速度为v(t)，t+dt时刻小车的质量为mtmttmd)()d(，zAmlOAzONmgFFM小车的速度为vvvd)()d(ttt．由动量定理列出水平方向的方程)d](d)([dvvmtmtFvv)(dtmm略去两次小量vd)(dtmtFvd)(mtMv00ddvttmtMF∴mtMMmFlnv由①式可直接得出mtMFtaddv*例8：二体问题今有质量分别为m1和m2的两个质点组成的系统，忽略外力作用，其质心处于静止状态．当质量为m1的质点绕质心作半径为r1的匀速圆周运动时，质点m2作何种运动？解：将坐标原点O建在质心C上，则有0212211mmrmrm1212rmmr可见质量为m2的质点必以r2为半径绕质心作圆周运动．*例9：非完全弹性碰撞，恢复系数一皮球从距地面h1处自由落下，与地面发生非弹性碰撞，其恢复系数为e，试证皮球在停止前通过的总路程为12211heeS．（提示32111xxxx……，0x1）证明：设第i次碰撞之前皮球是从高度hi处自由落下的，与地面碰撞时的速度为vi，i2ghiv，碰后瞬间皮球的速度为iv．取竖直向下为正．据恢复系数定义iiii00vvvve．iivvei2i22ii222hehggeghv则有下表：碰撞次数hh′1h1e2h12h2e4h1……………i12i2he1i2he……………皮球停止前各次碰撞前后经历的总路程为S2211hhhhS…iihh……OCm2m11p2p1r2r16141412121heheheheheh……12122heheii……642211)(1(eeeeh…22ie……)令2ex，6421eee……21xx…21111ex∴12211heeS．3.功与能基本内容：功，动能定理，功能原理，机械能守恒定律(1)一对内力功之和仅由它们的相对位移决定，这一结论给解题带来许多方便。(2)势能函数的形式与势能零点的选取有关。(3)应指明系统的范围，以便区分内力和外力。对于内力还要分清保守内力和非保守内力，并判断守恒条件是否成立。例10：变力的功一人从10m深的井中提水．起始时桶中装有10kg的水，桶的质量为1kg，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功．解：选竖直向上为坐标y轴的正方向，井中水面处为原点．由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F等于水桶的重量即：F=P=gymgkyP2.00=107.81.96y(SI)人的拉力所作的功为：W=HyFW0dd＝100d)96.18.107(yy=980J例11：曲线运动变力的功一质点在几个外力作用下做匀速圆周运动，其中一力为itF5(SI)，质点的运动学方程为)21cos(tx(SI)，)21sin(ty(SI)．求由t=0到t=2s的时间内，此力对该质点所做的功．)sincosdsin(Cxxxxxx解：rFAd20])21sin()21d[cos()5(jtitit10J例12：一对力的功质量为M的斜面体置于水平桌面上，另一质量为m的木块放在斜面上，设所有的接触面都是光滑的，试证明物体m和M间的相互作用力所作的功之和为零．证：因m和M的接触面是光滑的，它们相互作用力N及N与斜面垂直，且NN，设Mv代表斜面体相对于地面的运动速度，v代表木块相对于斜面的运动速度，则木块相对于地面的运动速度为NN′MvMvvmvvMmvvv在dt时间内m和M的相互作用力所作的功之和tNtNWMMdd)(dvvvtNtNMMdd)(vvvtNdv∵Nv，∴0vN0d21tttNWv例13：功能与参考系在匀速直线运动的汽车内悬挂的一个单摆，正在摆动，从地面参考系看,摆球与地球组成的系