2000年全国初中数学联合竞赛试题及答案

２０００年全国初中数学联合竞赛试题2005年全国初中数学联赛初赛试卷及答案2005年全国初中数学联赛决赛试卷及答案2007年全国初中数学联赛决赛一试试题及答案2007年全国初中数学联赛决赛第二试试题及答案2008年全国初中数学联赛2008年4月13日上午8：30—9：30一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1、设a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，则代数式21a+21b的值为（）（A）5（B）7（C）9（D）112、如图，设AD，BE，CF为△ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为（）（A）185（B）4（C）215（D）2453、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）（A）15（B）310（C）25（D）124、在△ABC中，∠ABC=12°，∠ACB=132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，则（）（A）BMCN（B）BM=CN（C）BMCN（D）BM和CN的大小关系不确定5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（）（A）(98)3（B）(98)4（C）(98)5（D）986、已知实数x，y满足(x–22008x)(y–22008y)=2008，则3x2–2y2+3x–3y–2007的值为（）（A）–2008（B）2008（C）–1（D）1二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1、设a=512，则5432322aaaaaaa=。2、如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AM=5，∠MAN=135°，则四边形AMCN的面积为。CBFDAECBDANMO3、已知二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且|m|+|n|≤1。设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则|p|+|q|=。4、依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是。答案：B、D、C、B、B、D；–2、52、12、1。解答：一、1、由题设条件可知a2–3a+1=0，b2–3b+1=0，且a≠b，所以a，b是一元二次方程x2–3x+1=0的两根，故a+b=3，ab=1，因此21a+21b=2222abab=22()2()ababab=223211=7；2、因为AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆，于是△AEF∽△ABC，故AFAC=EFBC=35，即cos∠BAC=35，所以sin∠BAC=45。在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6×45=245；3、能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个，所以所组成的数是3的倍数的概率是820=25；4、∵∠ABC=12°，BM为∠ABC的外角平分线，∴∠MBC=12(180°–12°)=84°，又∠BCM=180°–∠ACB=180°–132°=48°，∴∠BCM=180°–84°–48°=48°，∴BM=BC，又∠ACN=12(180°–∠ACB)=12(180°–132°)=24°，∴∠BNC=180°–∠ABC–∠BCN=180°–12°–(∠ACB+∠CAN)=12°=∠ABC，∴CN=CB，因此，BM=BC=CN；5、容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况。设5种商品降价前的价格为a，过了n天，n天后每种商品的价格一定可以表示为a∙(1–10%)k∙(1–20%)n–k=a∙(910)k∙(810)n–k，其中k为自然数，且0≤k≤n，要使r的值最小，五种商品的价格应该分别为：a∙(910)i∙(810)n–i，a∙(910)i+1∙(810)n–i–1，a∙(910)i+2∙(810)n–i–2，a∙(910)i+3∙(810)n–i–3，a∙(910)i+4∙(810)n–i–4，其中i为不超过n的自然数，所以r的最小值为4498()()101098()()1010iniiniaa=(98)4；6、∵(x–22008x)(y–22008y)=2008，∴x–22008x=220082008yy=y+22008y，y–22008y=220082008xx=x+22008x，由以上两式可得x=y，所以(x–22008x)2=2008，解得x2=2008，所以3x2–2y2+3x–3y–2007=3x2–2x2+3x–3x–2007=x2–2007=1；二、1、∵a2=(512)2=352=1–a，∴a2+a=1，∴原式=32322()2()2(1)aaaaaaaa=33212()aaaa=321aa=–311aa=–(1+a+a2)=–(1+1)=–2；2、设BD中点为O，连AO，则AO⊥BD，AO=OB=22，MO=22AMAO=322，∴MB=MO–OB=2。又∠ABM=∠NDA=135°，∠NAD=∠MAN–∠DAB–∠MAB=135°–90°–∠MAB=45°–∠MAB=∠AMB，所以△ADN∽△MBA，故ADMB=DNBA，从而DN=ADMB∙BA=12×1=22，根据对称性可知，四边形AMCN的面积S=2S△MAN=2×12×MN×AO=2×12×(22+2+2)×22=52；3、根据题意，m，n是一元二次方程x2+ax+b=0的两根，所以m+n=–a，mn=b。∵|m|+|n|≤1，∴|m+n|≤|m|+|n|≤1，|m–n|≤|m|+|n|≤1。∵方程x2+ax+b=0的判别式△=a2–4b≥0，∴b≤24a=2()4mn≤14。4b=4mn=(m+n)2–(m–n)2≥(m+n)2–1≥–1，故b≥–14，等号当m=–n=12时取得；4b=4mn=(m+n)2–(m–n)2≤1–(m–n)2≤1，故b≤14，等号当m=n=12时取得。所以p=14，q=–14，于是|p|+|q|=12；4、12到32，结果都只各占1个数位，共占1×3=3个数位；42到92，结果都只各占2个数位，共占2×6=12个数位；102到312，结果都只各占3个数位，共占3×22=66个数位；322到992，结果都只各占4个数位，共占4×68=272个数位；1002到3162，结果都只各占5个数位，共占5×217=1085个数位；此时还差2008–(3+12+66+272+1085)=570个数位。3172到4112，结果都只各占6个数位，共占6×95=570个数位。所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是4112的个位数字，即为1；2008年全国初中数学联赛2008年4月13日上午10：00—11：30第二试（A）一、（本题满分20分）已知a2+b2=1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数x，不等式a(1–x)(1–x–ax)–bx(b–x–bx)≥0（1）恒成立，当乘积ab取最小值时，求a，b的值。解：整理不等式（1）并将a2+b2=1代入，得(1+a+b)x2–(2a+1)x+a≥0（2），在（2）中，令x=0，得a≥0；令x=1，得b≥0。易知1+a+b0，0212(1)aab1，故二次函数y=(1+a+b)x2–(2a+1)x+a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间。由题设知，不等式（2）对于满足条件0≤x≤1的一切实数x恒成立，所以它的判别式△=(2a+1)2–4a(1+a+b)≤0，即ab≥14。由方程组22114abab（3）消去b，得16a4–16a2+1=0，所以a2=234或a2=234。又因为a≥0，所以a1=624或a2=624，于是b1=624或b2=624。所以ab的最小值为14，此时a，b的值分别为a=624，b=624和a=624，b=624。二、（本题满分25分）如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB=BC。（1）证明：点O在圆D的圆周上；（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值。解：（1）连OA，OB，OC，AC，因为O为圆心，AB=BC，所以△OBA∽△OBC，从而∠OBA=∠OBC，因为OD⊥AB，DB⊥BC，所以∠DOB=90°–∠OBA=90°–∠OBC=∠DBO，所以DB=DO，因此点O在圆D的圆周上；（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，易知BE⊥AC。设AC=2y（0y≤a），OE=x，AB=l，则a2=x2+y2，S=y(a+x)，l2=y2+(a+x)2=y2+a2+2ax+x2=2a2+2ax=2a(a+x)=2aSy。因为∠ABC=2∠OBA=2∠OAB=∠BDO，AB=BC，DB=DO，所以△BDO∽△ABC，CBDAEO所以BDAB=BOAC，即rl=2ay，故r=2aly，所以r2=2224aly=224ay∙2aSy=2S∙(ay)3≥2S，即r≥22S，其中等号当a=y时成立，这时AC是圆O的直径.所以圆D的的半径r的最小值为22S。三、（本题满分25分）设a为质数，b为正整数，且9(2a+b)2=509(4a+511b)（1）求a，b的值。解：（1）式即(63509ab)2=4511509ab，设m=63509ab，n=4511509ab，则n=m2，b=50963ma=5094511na（2），故3n–511m+6a=0，所以3m2–511m+6a=0（3），由（1）式可知，(2a+b)2能被质数509整除，于是2a+b能被509整除，故m为整数，即关于m的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式△=5112–72a为完全平方数。不妨设△=5112–72a=t2（t为自然数），则72a=5112–t2=(511+t)(511–t)，由于511+t和511–t的奇偶性相同，且511+t≥511，所以只可能有以下几种情况：①511365112tat，②511185114tat，③511125116tat，④511651112tat，两式相加分别得36a+2=1022，18a+4=1022，12a+6=1022，6a+12=1022，均没有整数解；⑤511451118tat，⑥511251136tat，两式相加分别得4a+18=1022，解得a=251；2a+36=1022，解得a=493，而493=17×29不是质数，故舍去。综合可知a=251。此时方程（3）的解为m=3或m=5023（舍去）。把a=251，m=3代入（2）式，得b=509362513=7。第二试（B）一、（本题满分20分）已知a2+b2=1，对于满足条件x+y=1，xy≥0的一切实数对(x，y)，不等式ay2–xy+bx2≥0（1）恒成立，当乘积ab取最小值时，求a，b的值。解：由x+y=1，xy≥0可知0≤x≤1，0≤y≤1。在（1）式中，令x=0，y=1，得a≥0；令x=1，y=0，得b≥0。将y=1–x代入（1）式，得a(1–x)2–x(1–x)+bx2≥0，即(1+a+b)x2–(2a+1)x+a≥0（2），易知1+a+b0，0212(1)aab1，故二次函数y=(1+a+b)x2–(2a+1)x+a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在