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2002年（首届）上海市TI杯高二年级数学竞赛个人赛试题（时间：90分钟）一、填空题（共8小题，前4小题每题6分，后4小题每题9分，满分60分）1.在数学中e（=2.718281828…）和л（=3.1415926535…）是两个重要的常数，试比较下列两对数的大小（填写“”，或“=”，或“”）：лe__________eл；ctgл2__________ctge22.在△ABC中，AC=2cm，AB=2.5cm，则∠B的最大可能值是________（用角度值表示）3.如下图，通常利用方程为y=x·tgθ-(4.877x2)/(v2cos2θ)(y≥0)的抛物线部分表示人或动物跳跃时的轨迹，其中θ表示在起跳点O的起跳角（0oθ90o）,v为起跳的初始速度（单位：米/秒），x,y单位均为米。现有一只青蛙，起跳角θ=30o，起跳初始速度v=4.5米/秒，则这只青蛙最高能跳__________米（精确到0.01米）4.如下图，对一个正六边形，在它的外面画一个外接圆，再作这个圆的外切正六边形，这算一次操作。然后，对得到的正六边形还可以进yxOvθ行同样的操作。若原始的正六边形的边长为1厘米，则至少要连续进行__________次操作，才能使最后得到的正六边形面积超过1平方公里。5.在直角坐标平面上，已知六个点：A（2.412，-1.356），B（4.258，1.811），C（-3.254，7.256），D（-6.343，2.678），E（7.254，5.324），F（-2.814，-4.332），则使│PA│2+│PB│2+│PC│2+│PD│2+│PE│2+│PF│2最小的点P的坐标是____________________6.海拔高度都是100米的三个雷达站A、B、C正好位于边长为1000米的正三角形的三个顶点上。在某一时刻发现一个目标M，三个雷达站同时测得三个距离MA=2000米，MB=2000米，MC=1500米，此时这个目标位于海拔高度__________米的上空（精确到1米）7.已知AB是过双曲线x2/a2-y2/b2=1（a0，b0）右焦点F的弦，且AB⊥X轴，M是双曲线的右顶点，记∠BMA=θ，则用弧度值来表示θ的取值范围是___________________________（精确到10-4）8.通过函数y=sinx+1和y=x的图象交点可知方程x=sinx+1在（л/3，2л/3）内有一个解。为了求出方程x=sinx+1精确到10-5的近似解可以采用下述的“迭代”方法进行：设xn=sinxn-1+1(n=1,2,3,…),取初始值x0=2，得x1=sin2+1=1909297427，x2=sin1.909297427+1=1.94325347,…直到│xn-xn-1│10-6时，我们就把x=xn作为方程的近似解,则上述方程精确到10-5的近似解是__________*解答以下三题必须写出解题的必要步骤二、（本题满分20分）已知函数f(x)=10+10sinxcosx-20cos2x，若方程f(x)=m（m为整数）在[0，л]内恰有两个不相等的实数根，求m的值。三、（本题满分20分）⑴写出一个以2002起首的十位完全平方数（应指出它是哪个自然数的平方）⑵任给一个以2002起首的六位数，是否总能在其后面添加4个数字，使得到的十位数是一个完全平方数？证明你的结论四、（本题满分20分）椭圆x2/a2+y2/b2=1（a0，b0）的面积可用公式S=лab计算。设F为椭圆x2/a2+y2/b2=1（a0，b0）的右焦点，且使以O为圆心，OF为半径的圆的面积恰好等于已知椭圆的面积，A为该圆与椭圆在第一象限内的交点，记∠XOA=θ（θ为锐角），求θ的大小（用角度值表示）yxOAθ