2002年第33届国际奥林匹克物理竞赛试题

2002年第33届国际奥林匹克物理竞赛试题题1、穿地雷达穿地雷达（GPR）通过向地下发射电磁波并接受地下物体反射回来的电磁波来检测和定位近地表面处的物体。天线和探测器直接放在地面上，并放在同一位置。角频率为，沿Z方向传播的线偏振平面电磁波的电场由下式表示：)cos(0zteEEaz①其中0E为常数，为衰减常数，为波数，分别由下式表示2121222112②2121222112其中、和分别为磁导率、介电常数和电导率。当到达物体时的雷达信号振幅下降为初始值的%)37(1e时，将无法被探测到。常用频率在（10MHz~1000MHz）之间的电磁波进行探测，以便调节探测范围和分辨率。GPR的性能取决于它的分辨率。分辨率由两个相邻的被测反射体的最小间距决定，最小间距对应于两个反射波在探测处的最小相位差为180°。问题：（已知：mFmh/1085.8,/10412070）1．假定大地为非磁性物质)(0，并满足条件12，利用方程①和②导出传播速度v的表达式（用和表示）。（1.0分）2．确定地下被探测物体的最大深度，设大地的电导率为1.0mSm，介电常数为90，并满足条件12。（1s=1,10）（2.0分）3．考虑两根水平方向平行埋在地下的导电杆，两杆深4m，已知大地的电导率为1.0mSm，介电常数为90，假设GPR近似就在其中一根导电杆的所在位置上方进行测量，并假设探测器为点状，试确定使横向分辨率达50㎝所需的最低频率。（3.5分）4．为确定埋在与上问2中同样条件的地层中的导体杆的深度d，考虑沿垂直于导体杆方向进行的测量。测量结果可用图33-1表示为电磁波传播时间t和探测位置x的关系。取nst100min。试导出t与x的函数关系，并确定d。（3.5分）根据12可略去222项。评注：由题意可知，分辨率由两个相邻的被测反射体的最小间距r决定，式中d为导电杆深度，md4当天线距两导电杆的距离差为4时，两反射波在探测器处的最小相位差为180°。解答：1．雷达波在媒质中的传播速度mV：zt常数z常数+tdtdzvm2121222112svm1)11(2121svm2．物体在地下的最大可探测深度（趋肤深度，）与衰减常数成反比：2121222112112121222121121212222121212对于电导率mms/0.1，相对介电常数为9的介质（09），其趋肤深度因题给,009.1r，9rmm93.150.1931.53．横向分辨率：2224ddr212162dr.4,5.0mdmr21216242104322波长为m125.0信号在媒质中的传播速度为rrmmv0011rr1100smCvrrrm/1038其中smC/1031800smvm/108分辨两导电杆所需之最低频率为HzHzvfm68min10800125.010MHz8004．当天线和探测器处于地面上某一位置时，电磁波的传播路途如图33-3所示。电磁波在大地中的传播速度smv/108传播时间t作为x的函数：2222xdtv22244)(vxdxt222)(xdvxt对x=0，t取最小值nst100min代入上式得d=5m题2：感知电信号某些海洋动物能探测到离它一定距离的其他动物，因为这些动物呼吸或包括肌肉收缩在内的其他过程会产生电流。某些食肉动物（捕食者）利用这种电信号确定猎物的位置（即使猎物埋在海底沙中也行）。猎物的发电机制和捕食者的探测机制可以用图33-4的模型表示。猎物体内的电流在分别带有正负电位的两球体之间流动，假设两球体距离为sl，每个球的半径为sr，sr远小于sl，海水电阻率为。假设猎物身体的电阻率和它周围的海水一样，因而图中猎物身体的边界可以忽略。为了描述捕食者对猎物产生的电信号的探测过程，探测器可以类似地简化为捕食者身上的两个球，并和周围的海水相接触，和猎物的一对电报相平行，两球相距dl，每个球体的半径为dr，dr远小于dl。在所考察的情形，探测器中心在信号源正上方y处，两个球的连线和电场相平行。如图33-5所示。源和探测器中两球的距离sl和dl都远小于y。假定电场强度在连接探测器两球的连线上为常数，因此探测器与猎物、周围的海水以及捕食者连成一个闭合回路，如图33-5所示。图中的V是由猎物感应产生的，电场在探测器两个球间造成的电位差（由于捕食者的生物效应，这里的V等效于电动势——译者注），Rm是半径为dr的两个球被周围海水包围时产生的电阻（内阻）。另外，Vd和Rd分别是捕食者体内两探测球之间的电位差和电阻。问题：1．确定放在无限大导电媒质中的点电流源I3产生的离点电流源r处的电流密度矢量j（通过单位面积的电流）。（1.5分）评注以点源为球心，以r为半径的球面面积为24rS由欧姆定律的微分形式Ej和电导率1（为电阻率）得jE原答案中采用矢量运算。EEEP2322214ylIssjyils2232221ylsjyils223222)(4ylilIsss对,yls有)(43iylIEssP2．基于定律jE，确定探测器两球连结中点P的场强PE，设猎物体内两球间的电流为sI。（2.0分）3．确定猎物体内两源球间的电位差sV。（1.5分）确定两源球间的电阻sR和源产生的电功率sP。（0.5分）4．确定图33-5中两探测球间的电阻mR。（0.5分）两探测球间的电位差dV（1.0分）计算探测器的电功率。（0.5分）5．确定使探测到的电功率达最大时的最佳dR值（1.5分），并确定此最大电功率。（0.5分）解答：1．当一点电流源sI位于无限大各向同性媒质中时，离点源r处的电流密度矢量为rrIjs342．题中已设猎物体的电阻率与周围海水相同，意即猎物的边界消失，两球犹如处在电阻率为的无限大各向同性媒质中。当小球产生的电流为sI时，离球心r处的电流密度。rrIjs34由于海水电阻率为，在r处的电场强度rrIjrEs34)(在我们的模型中有两个小球，一球相对另一球处于正电压，于是电流sI从带正电的小球流向带负电的小球。两球相距sl，则),0(yP处的场强为EEEp由)(rE的表达式可得E、E的大小为E=E2221414ylIrIsss当sl很小时，略去2sl项。在这里应用了积分公式)(1)(12baxadxbax由欧姆定律确定两源球间的电阻。注意：由于两源球间不是规则的导体，不能用电阻定律slR确定其电阻。P点的场强大小为232222214222yllIyllEEsssssP)(43ylylIsss对方向沿x轴负方向。3．沿两球连线的x轴上的场强为：ilxlxIxEsss2221214)(产生给定电流sI的电位差为dxxErlrlVVVVsssss),()2()2(dxilxlxIsss2221214ssssssrlrlrI22sssslrIVV对2sr两源球间的电阻为ssssrIVR2源产生的电功率为sssssrIVIP224．V是由猎物感生的电场在两探球间产生的电动势，mR是由周围海水产生的内阻，dV是两探球间的电位差，dR是捕食者体内两探极间的电阻，di则流经闭合电路的电流。与两源球间的电阻相类比，两探球（半径均为dr）之间，电阻率为的媒质的电阻为dmrR2既然dl比y小得多，两探球间的电场就可认为是常将ddRr2代入探测器的电功率表达式234yllIPdssd22dddrRR中化简即得。数，而为32yIIEss于是，存在于媒质中的两探球间的电动势为34ylIIElVdssd两探球间的电位差则为342ylIIrRRVRRRVdssdddmddd探测器的电功率为22324ddddssdmddddrRrylIIVRRVViP5．当222mdddddtRRRrRRR达最大时，功率dP达最大，于是有0)()(2)(42mdmddmddtRRRRRRRdRdR02)(dmdRRRdmdRRR2最大功率为ddssdRyllIP41423max6232)(yrllIddss题3：重车在倾斜道路上的运动图33-9是重车（压路机）的简化模型，该车前后各有一圆柱柱作为轮子，在倾斜角为的道路上运动。每个圆柱轮总质量为Mmm32，由外半径为0R，内半径为08.0RRi的圆柱壳及8根辐条组成，8根辐条的总质量为M2.0，支撑车体的下架的质量可以忽略。圆柱体的模型如图33-10所示。现重车在重力和摩擦力的作用下沿道路运动。已知圆柱轮和地面的静摩因数和动摩擦因数分别是s和k，车身质量为Mm51，长为L，厚为t，前后轮之间距离为l2。圆柱轮中心到车身底的距离为h。设圆柱轮和它的轴之间的摩擦可评注：设圆柱壳的密度为，厚度为dr的圆周的质量drrdm2)(2imRRm圆柱设幅条的线密度为，则drdmiRm幅条以忽略。问题：1．计算每个圆柱轮的转动惯量。（1.5分）2．画出作用在车身、前轮和后轮上的作用力。写出每一部分的运动方程。（2.5分）3．设车子从静止开始在重力和摩擦力作用下自由运动。描述系统所有可能的运动形式，并导出相应的车的加速度，用题中所给的物理量表示。（4.0分）4．假定重车从静止开始以纯滚动行进距离d米后，进入道路的另一部分，这时所有的摩擦系数降为较小的常量s和k，使得两个圆柱轮开始滑动，计算重车行进总距离s米后，每个圆柱轮的线速度和角速度。假定d和s均比车的线度大得多。（2.0分）解答：为简化模型，作图33-11并设thh5.01RR01．计算圆柱轮转动惯量RRi8.0圆柱部分质量Mm8.0圆柱每根辐条质量MMm025.02.081辐条辐条圆柱壳全部dmrdmrdmrI2228圆柱壳RRiiRRdrrdmr)(5.024432)(5.022iRRm圆柱)8.01(8.05.022RM式中hf12为后轮对车身平行斜面的作用力，hf13为前轮对车身平行斜面的作用力。式中N12、N13分别为后轮、前轮对车身的支持力。式中2为后轮转动的角加速度，与后轮平动加速度a的关系为Ra2由此可得22