2002年上海高考数学（文）试题

2002年高考数学文史类（上海卷）考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚。2.本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟，请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。一.填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1.若1)3(,izCz且（i为虚数单位），则z。2.已知向量ba和的夹角为120，且ababa)2(,5||,2||则=。3.方程12)321(log3xx的解x=。4.若正四棱锥的底面边长为cm32,体积为34cm，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是。5.在二项式nx)31(和nx)52(的展开式中，各项系数之和分别记为na、nb，n是正整数，则nnnnnbaba432lim=。6.已知圆1)1(22yx和圆外一点)0,2(P，过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是。7.在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分，若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是（结果用数值表示）8.抛物线)1(4)1(2xy的焦点坐标是。9.某工程由下列工序组成，则工程总时数为天。工序abcdef紧前工序——a、bccd、e[来源:学|科|网Z|X|X|K]工时数（天）23254110.设函数xxf2sin)(，若)(txf是偶函数，则t的一个可能值是。11.若数列}{na中，211,3nnaaa且（n是正整数），则数列的通项na。12.已知函数)(xfy（定义域为D，值域为A）有反函数)(1xfy，则方程0)(xf有解x=a，且xxf)()(Dx的充要条件是)(1xfy满足。二.选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。13.如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（）[来源:学科网ZXXK]A.Czzzz,21Re,1||B.Czzzz,21Re,1||C.Czzzz,21Im,1||D.Czzzz,21Im,1||y0.5-1O1x14.已知直线l、m，平面、，且ml,，给出下列四个命题。（1）若ml则,//（2）//,则若ml（3）若，则ml//（3）若则,//ml其中正确命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个15.函数],[|,|sinxxxy的大致图象是（）yyOx-Ox（A）（B）yyOx-Ox-（C）（D）16.一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（C）有一定的关系。图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年12个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确是（）。A.气温最高时，用电量最多A.气温最低时，用电量最少C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加。[来源:Z.xx.k.Com]D.当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加。30252015105012378910111265412378910111265402040600800100120140月份月份图（1）图（2）气温用电量[来源:Zxxk.Com]三.解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。17.（本题满分12分）如图，在直三棱柱'''OBAABO中，4'OO，90,3,4AOBOBOA，D是线段''BA的中点，P是侧棱'BB上的一点，若BDOP，求OP与底面AOB所成角的大小。（结果用反三角函数值表示）O’A’DB’POAB18.（本题满分12分）已知点)0,3()0,3(BA和，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线2xy交于D、E两点，求线段DE的长。19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。已知函数]5,5[,22)(2xaxxxf（1）当1a时，求函数)(xf的最大值与最小值。（2）求实数a的取值范围，使)(xfy在区间]5,5[上是单调函数。[来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:Z&xx&k.Com]20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围[200,400)[400,500)[500,700)[700,900)…获得奖券的金额（元）30[来源:学+科60100130…+网]根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：110302.0400（元），设购买商品得到的优惠率商品的标价购买商品获得的优惠额。试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在]800,500[（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于31的优惠率？21.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。已知函数xbaxf)(的图象过点)41,4(A和)1,5(B。（1）求函数f(x)的解析式。（2）记)(log2nfan，n是正整数，nS是数列}{na的前n项和，解关于n的不等式0nnSa；（3）对于（2）中的na与nS，整数96是否为数列}{nnSa中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由。[来源:学。科。网Z。X。X。K]22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。规定!)1()1(mmxxxCmx，其中Rx，m是正整数，且10xC，这是组合数mnC（n,m是正整数，且nm）的一种推广。（1）求315C的值。（2）设x0，当x为何值时，213)(xxCC取得最小值？（3）组合数的两个性质：①mnnmnCC；②mnmnmnCCC11是否都能推广到mxC（Rx，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由。答案要点说明：1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。一.（第1题至12题）1.i32.133.-14.305.216.347.1338.（0，1）9.1110.))(12(4//43/4Zkk11.123n12.af)0(1,且)(/)()(11xfyAxxxf的图象在直线xy的下方，且与y轴的交点为/),0(a。二.（第13题至16题）13.D14.B15.C16.C三.（第17题至第22题）17.[解法一]如图,以O点为原点建立空间直角坐标系由题意，有)4,2,23(),0,0,3(DB设),0,3(zP，则},0,3{},4,2,23{zOPBD因为OPBD0429zOPBD89z因为'BB平面AOBPOB是OP与底面AOB所成的角8383arctgPOBPOBtgzO’A’DB’POAyBx[解法二]取''BO中点E，连结DE、BE，则DE平面''OOBBBE是BD在平面''OOBB内的射影。[来源:学*科*网Z*X*X*K]又因为BDOP由三垂线定理的逆定理，得BEOP在矩形''OOBB中，易得EBBRtOBPRt'~,''BBOBEBBP得89BP（以下同解法一）O’A’EDB’POAB[来源:学。科。网]18.[解]设点C（x,y），则2||||CBCA根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线12222byax由2,1,32||2,2222baABca得故点C的轨迹方程是1222yx由21222xyyx，得0642xx因为0，所以直线与双曲线有两个交点。设),(11yxD、),(22yxE，则6,42121xxxx故221221)()(||yyxxDE544)(221221xxxx19.[解]（1）当1a时]5,5[,1)1(22)(22xxxxxf1x时，)(xf的最小值为15x时，)(xf的最大值为37。（2）函数222)()(aaxxf图象的对称轴为ax因为)(xf在区间]5,5[上是单调函数。55aa或故a的取值范围是5a或5a[来源:Z&xx&k.Com]20.[解]（1）%3310001302.01000（2）设商品的标价为x元则800500x，消费额：6408.0400x由已知得（I）5008.040031602.0xxx或（II）6408.0500311002.0xxx不等式组（I）无解，不等式组（II）的解为750625x因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可得到不小于31的优惠率。21.[解]（1）由541,41baba，得10241,4ab故xxf410241)(（2）由题意102)410241(log2nann)9)(5(2)9()(21nnnSannaanSnnnn由0nnSa得0)9)(5(nn，即95n故9,8,7,6,5n（3）6411Sa，8422Sa，7233Sa，4044Sa当95n时，0nnSa当10n时，1001010SaSann因此，96不是数列}{nnSa中的项。[来源:学,科,网]22.[解]（1）680!3)17)(16)(15(315C（2）22136)2)(1()(xxxxCCxx)32(61xx因为222,0xxx当且仅当2x时，等号成立。当2x时，213)(xxCC取得最小值。（3）性质（1）不能推广。例如当2x时，12C有定义，但122C无意义；性质(2)能推广，它的推广形式是RxCCCmxmxmx,11，m是正整数，事实上[来源:学科网ZXXK]当m=1时，有11011xxxCxCC当2m时，)!1()2()1(!)1()1(1mmxxxmmxxxCCmxmx]11[)!1()2()1(mmxmmxxxmxCmxmxxx1!)1)(2()1([证明]（3）当mx时，组合数ZCmx当mx0时，ZCmx0当x0时，01mx!)1()1(mmxxxCmxZCmxxmxmmxmm1)1(!))(1()1()1(年级[来源:学科网ZXXK]高三学科数学版本[来源:学+科+网Z+X+X+K]期数内容标题2002年高考数学文史类（上海卷）分类索引号G.622.475分类索引描述统考试题与题解主题词2002年高考数学文史类（上海卷