2004年全国初中数学竞赛预选赛试题及答案(浙江赛区)

初中数学竞赛预选赛试题(考试时间：120分钟，满分140分)题目一二三四五总分得分评卷人复查人一、选择题：(每小题7分，共42分)1、已知实数a满足：|2004-a|+2005a＝a，那么a-20042＝…………()A、2003B、2004C、2005D、20062、如图，在△ABC中，∠C＝Rt∠，CD⊥AB于D，在(1)DC·AB＝AC·BC，(2)BDADBCAC22(3)222111CDBCAC(4)AC+BC＞CD+AB中正确的个数是……………………………………………………()A、4B、3C、2D、13、实数a，b，c，d满足：a＋b＋c＋d＝1001，ac＝bd＝4，则：))()()((addccbba=…………………………………………()A、1001B、2002C、2003D、20044、在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，∠A≠90°，画直线使它把△ABC分_________________学区___________________中学姓名_________________准考证号码_________________………………………………装………………………………订………………………………线………………………………成两部份，且使其中一部分与△ABC相似，这样的互不平行的直线有()条……………………………………………………………（）A、3B、4C、5D、65、已知二次函数y=ax2+c,且当x＝1时，－4≤y≤－1，当x＝2时,－1≤y≤5，则当x＝3时，y的取值范围是…………………………………………()A、－1≤y≤20B、－4≤y≤15C、7≤y≤26D、328≤y≤3356、n是一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为a，当n分别乘以3，5，7，9后得到四个乘积，如果其每个乘积的各位数的数字之和仍为a，那么这样的两位数有()个。………………………………………………………………………（）A、3B、5C、7D、9二、填空题：（每小题7分，共28分）7、某电影院的票价是：个人每张6元，每10人一张团体票为40元，学生享受九折优惠，某校1258名学生看电影(教师免票)，学校应向电影院至少付_________________元钱。8、利用公式(a2＋b2)(c2＋d2)=(ac＋bd)2＋(bc－ad)2或其它方法找出一组正整数填空：(22＋92×32)(42＋92×52)=()2+92×()2。9、如图，梯形ABCD的面积为34cm2，AE=BF，CE与DF相交于O，△OCD的面积为11cm2，则阴影部分的面积为_cm2。10、在表达式S=4321xxxx中，x1、x2、x3、x4是1、2、3、4的一种排列（即：x1、x2、x3、x4取1、2、3、4中的某一个数，且x1、x2、x3、x4互不相同）。则使S为实数的不同排列的种数有种。三、(本题满分20分)某同学买某种铅笔，当他买了x支，付了y元（x、y都是整数）时，营业员说：“你要再多买10支，我就总共收你2元钱，这样相当于每买30支，你可节省2元钱”。求x、y。四、(本题满分25分)如图：菱形PQRS内接于矩形ABCD，使得P、Q、R、S为AB、BC、CD、DA上的内点。已知PB=15、BQ=20、PR=30、QS=40、若既约分数nm为矩形ABCD的周长，求m＋n。五、(本题满分25分)1、试设计一种方法，把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形(分得的正方形大小可以不相同)；又问如何把正方形按上要求分成31个正方形？2、试设计一种方法，把一个立方体分割成55个立方体(要求：不重复不遗漏，分得的立方体大小可以不相同)。全国初中数学竞赛预选赛答案一、1.C;2.B;3.B;4.D;5.A;6.B;二、7.4536;8.1388，2;9.12;10.16;三、根据营业员的话，y的值只能是1或2。(3分)(1)当y=1时，则原来每支价格为x1元，多买10支，每支节省151元。现在每支价格为(x1-151)元。设多买10支后共m支，则有(x1-151)m=2……(4分)，此时m只能取15,30,45,60……。经讨论只有当m=15，x=5时才符合题意。（6分）(2)当y=2时，则(x2-151)m=2无论m为何整数均不合题意。(5分)∴所求x=5、y=1(2分)（注：y=2不讨论适当扣分）四、设AS=x、AP=y……(2分)，由菱形性质知PRSQ，且互相平分，这样得到8个直角三角形，易知PR与SQ的交点是矩形ABCD的中心。由已知可得其中6个三角形的边长分别为15、20、25。由对称性知CQ、CR的长为x、y。则Rt△ASP和Rt△CQR的三边长分别为x、y、25，矩形面积等于8个Rt△的面积之和。则有：(20+x)(15+y)=6×21×20×15+2×21xy（8分）则有3x+4y=120(1)又x2+y2=625(2)(2分)得x1=20x2=544y1=15y2=5117(5分)当x=20时BC=x+BQ=40这与PR=30不合故x=544y=5117(2分)∴矩形周长为2(15+20+x+y)=5672(5分)即：m+n=677(1分)五、1、容易把一个正方形分成42=16个正方形，再把其中位于一角的9个拼成一个正方形，共得：16-9+1=8个正方形。(8分)分成16个正方形后，把其中任意5个分成4个小正方形，共有16-5+5×4=31个正方形。(8分)2、把立方体分割成33=27个立方体，再把其中4个各分成23=8个立方体，共27-4+4×23=55个立方体。（9分）