2004年全国初中数学联合竞赛试题

2004年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1．已知abc≠0，且a+b+c=0,则代数式222abcbccaab的值是（）(A)3(B)2(C)1(D)02．已知p,q均为质数，且满足5p2+3q=59，则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是（）(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等腰三角形3．一个三角形的边长分别为a,a,b，另一个三角形的边长分别为b,b,a，其中ab，若两个三角形的最小内角相等，则ab的值等于（）(A)312(B)512(C)322(D)5224．过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（）(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条5．已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为（）(A)18ab(B)18ab(C)14ab(D)14ab6．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（）(A)24(B)38(C)46(D)50二、填空题:1．计算111112233420032004=.2．如图ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，则BNNC=.3．实数a,b满足a3+b3+3ab=1,，则a+b=.4．设m是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m=.第二试（A）一、已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值．二、已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC,以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M，EP⊥l于P，FQ⊥l于Q．求证：EP=FQ．IHQPGFEDMCBA三、已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1)P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E，CP所在的直线交AB于F。将BFCE表示为自变量t的函数．第二试（B）一、已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值．二、已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC,以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M．求证：M为EF的中点．IHQPGFEDMCBA三、已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1)P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E，CP所在的直线交AB于F．将BFCE表示为自变量t的函数．第二试（C）一、已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值．二、已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC,以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，连接EF，设线段EF的中点为M．求证：MA=MD．IHQPGFEDMCBA三、已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1)P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E，CP所在的直线交AB于F．将BFCE表示为自变量t的函数．2004年全国初中数学联赛试题参考答案一试一．ＡＢＢＣＢＤ二．1．250112．123．1或-24．17二试一．-18，-8，0，10二．（略）三．2225(11)25ttttt下面按斜边长分类进行计数．(1)当斜边长为2时，斜边一定是小正方形的对角线，这样的线段有12条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×12=24个．(2)当斜边长为2时，图形中长为2的线段有10条，其中有6条在2×3矩形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有4条在2×3矩形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形．共有6+2×4=14个，(3)当斜边长为22时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有4条，每条对应着两个等腰直角三角形，共有2×4=8个．(4)当斜边长为10时，这样的线段有4条，每条对应着一个等腰直角三角形，共有4个．因此，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为24+14+8+4=50．3．17．最小三个合数为4，6和8，4+6+8=18．故17是不能表示为三个互不相等的合数之和的整数．当m18时，若m=2k18，则m=4+6+2×(k-5)；若m=2k-118，则m=4+9+2(k一7)．因此，任意大于18的整数均可表示为三个互不相等的合数之和．故m=17．