2005年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)

2005年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）9月17日上午8：30－10：30一、选择题（本题满分30分，每小题5分）本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且只有一个是正确。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得5分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1．已知正项非常值数列}{na，}{nb满足：1,,nnnaba成等差数列，11,,nnnbab成等比数列。令nnbc，则下列关于数列}{nc的说法正确的是（A）}{nc为等差数列（B）}{nc为等比数列（C）}{nc的每一项为奇数（D）}{nc的每一项为偶数解：由题可知，nnnaab12，121nnnbba，∴11nnnbba∴112nnnnnbbbbb，即112nnnbbb，∴}{nc为等差数列，故选A2．在△ABC中，cba,,分别是角CBA,,所对边的边长，若0sincos2sincosBBAA，则cba的值是（A）1（B）2（C）3（D）2解：由0sincos2sincosBBAA得，0)4sin(22)4sin(2BA即1)4sin()4sin(BA，由正弦函数的有界性及BA,为三角形的内角可知，1)4sin(A且1)4sin(B，从而4BA，∴2C∴2sinsinBAcba3．函数)33(299)(xxxxxf的最小值是（A）1（B）2（C）3（D）2解：2)33(2)33()33(299)(2xxxxxxxxxf令233xxt，则3)1(2222ttty，最小值为2，故选D4．双曲线12222byax的左焦点为1F，顶点为21,AA，P是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段211,AAPF为直径的两圆一定（A）相交（B）内切（C）外切（D）相离解：设双曲线的另一个焦点为2F，线段1PF的中点为C，在△PFF21中，C为1PF的中点，O为21FF的中点，从而|)||(|21||212112AAPFPFOC，从而以线段211,AAPF为直径的两圆一定内切。5．设}10,,2,1{A，若“方程02cbxx满足Acb,，且方程至少有一根Aa”，就称该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为（A）8（B）10（C）12（D）14解：，由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为1时，有9个满足题意的“漂亮方程”，当一根为2时，有3个满足题意的“漂亮方程”。共有12个，故选C。6．设4321,,,aaaa是4,3,2,1的任一排列，f是}4,3,2,1{到}4,3,2,1{的映射，且满足iif)(，记数表)()()(43214321afaf)f(aafaaaa。若数表NM,的对应位置上至少有一个不同，就说NM,是两张不同的数表。则满足条件的不同的数表的张数为（A）144（B）192（C）216（D）576解：对于4321,,,aaaa的一个排列，可以9个映射满足iif)(，而4321,,,aaaa共有2444A个排列，所以满足条件的数表共有216924张，故选C。二、填空题（本题满分30分，每小题5分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7．函数|cossin|2sin)(xxexxf的最大值与最小值之差等于21e。解：)|4sin(|2|cossin|2sin2sin)(xxxexexxf，从而当4x时取最大值21e当4x时取最小值0，从而最大值与最小值之差等于21e8．设20x，则满足不等式xxcos)6sin(的x的取值范围是343x。解：由xxcos)6sin(，可得0)3sin(x，解得343x9．如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形。那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有120条。解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，共2762312224C，其中所有的棱都在原立方体的表面，有36条原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以连20285条，6个面共120条都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部。10．设)(222yxyxS，其中yx,满足1loglog22yx，则S的最小值为244。解：由1loglog22yx，得2xy又4)(2)(2)(2)()(22222yxyxxyyxyxyxyxS2445)122(5]12[5]1)[(222xyyx11．设△ABC内接于半径为R的⊙O，且ACAB，AD为底边BC上的高，则BCAD的最大值为RR5。解：如图，设OBD，则sinRRADcos21RBDBC，cos2RBDBCAD＝)sin(5cos2sinRRRRR其中2tan所以BCAD的最大值为RR512．设tsr,,为整数，集合}0,222|{rstaatsr中的数由小到大组成数列}{na：,14,13,11,7，则36a131。解：∵tsr,,为整数且rst0，∴r最小取2，此时符合条件的数有122C3r，ts,可在2,1,0中取，符合条件有的数有323C同理，4r时，符合条件有的数有624C5r时，符合条件有的数有1025C6r时，符合条件有的数有1526C7r时，符合条件有的数有2127C因此，36a是7r中的最小值，即13122271036ajOCDAB三、解答题（本题满分80分，每小题20分）13．如图，CEBD,是△ABC的两条高，F和G分别是DE和BC的中点，O是△ABC的外心。求证：AO∥FG。证明：如图，连结GD和GE∵90BECBDC，BCBG∴EGBCDG21，又∵EFDF∴DEDF延长OA交DE于H，连结OB∵90BECBDC∴DECB,,,四点共圆。AOBDCBDEB21，即AOBAEH21又∵OBOA∴AOBBAOEAH219090AEHEAH于是，DEAD，即DEOA∴AO∥FG。14．正方形ABCD的两顶点BA,在抛物线2xy上，DC,两点在直线4xy上，求正方形的边长d。解：设BA,两点坐标分别为),(211ttA、),(222ttB，显然21tt∵AB∥DC，∴1221221tttt，即121tt一方面，])(1[)()()(||2212212222122122ttttttttABd]4)[(221221tttt∴)2(81221dtt①另一方面，2|4|2|4|||21211ttttADd，∴2212)4(2ttd②将①代入②，得09006824dd，即0)50)(18(22dd故23d或25d15．设实数ba,满足条件321321xxxxxxa，133221xxxxxxab，其中0,,321xxx，求HOFGEDABCaabaP2216的是最大值。解：3332132132133axxxxxxxxxa，∴33aabxxxxxxxxxxxxxxxxxxa3)(3)(2)(13322113322123222123212从而，ba3931331111112162222aaaaaaaaabaP当且仅当321xxx，33a，ba3时等号成立。即3321xxx，33a，3b时，aabaP2216有最大值93116．某班有20人，参加语文、数学考试各一次，考试结果是：①没有0分；②没有两个同学的语文、数学成绩相同。我们说“同学A比B的成绩好”，是指“同学A的语文、数学成绩都不低于B”。证明：存在三个同学A、B、C，使得同学A比同学B的成绩好，同学B比C的成绩好。证明：若同学A比B的成绩好，记为BA。原问题等价于证明：存在三个同学A、B、C满足CBA用),(iiba表示第i个同学的语文、数学成绩（20,,2,1i）。于是jijijjiibbaababa,),(),(且等号不能同时成绩。因为语文成绩ia（20,,2,1i）在1到10的整数值中取值，对这20个同学的语文成绩，由抽屉原理知，下列情形之一必然出现：情形1：某个分数值，至少有3人取得。即存在某个}10,,2,1{m，使得maaakji（其中kji,,两两不等）。情形2：每个分数值，恰好均有2人取得，即对任意的}10,,2,1{f，存在不同的ji,，使得faaji。同理，对于数学成绩ib同样有两种情形：情况1：存在某个}10,,2,1{n，使得nbbbkji（其中kji,,两两不等）。情形2：对任意的}10,,2,1{g，存在不同的ji,，使得gbbji。下面进行讨论：对情况形1：若maaakji，则由条件知kjibbb,,两两不等。不失一般性，不妨设kjibbb，则),(),(),(kkjjiibababa，即存在三个同学存在三个同学A、B、C满足CBA对情况1：同理可证。对情形2：有两个1ia，不失一般性设1jiaa，于是得),1(),,1(jibb，且jibb，不失一般性，设jibb，则),1(),1(jibb这时，对于ib，若出现情形1，则结论成立；若出现情形2，则必有2人得10分，不妨设为lkaa,，易知lkaa,中至少有一个不取1（否则与条件②矛盾），设为ka，则ka1。所以，故结论成立。对于情形2，同理可证。综上所述，结论成立。