2005年上海高考数学（理）试题

2005年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理工农医类）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数)1(log)(4xxf的反函数)(1xf=__________.2．方程0224xx的解是__________.3．直角坐标平面xoy中，若定点)2,1(A与动点),(yxP满足4OAOP，则点P的轨迹方程是__________.4．在10)(ax的展开式中，7x的系数是15，则实数a=__________.5．若双曲线的渐近线方程为xy3，它的一个焦点是0,10，则双曲线的方程是__________.6．将参数方程sin2cos21yx（为参数）化为普通方程，所得方程是__________.7．计算：112323limnnnnn=__________.8．某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）9．在ABC中，若120A，AB=5，BC=7，则ABC的面积S=__________.[来源:学*科*网]10．函数2,0|,sin|2sin)(xxxxf的图象与直线ky有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是__________.11．有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3aaaa.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是__________.[来源:Zxxk.Com]12．用n个不同的实数naaa,,,21可得到!n个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n行的数阵.对第i行iniiaaa,,,21，记inniiiinaaaab)1(32321，!,,3,2,1ni.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621bbb，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021bbb=__________.123123123123123123二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.13．若函数121)(xxf，则该函数在,上是（）A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值14．已知集合RxxxM,2|1||，ZxxxP,115|，则PM等于（）A．Zxxx,30|B．Zxxx,30|C．Zxxx,01|D．Zxxx,01|15．过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在16．设定义域为R的函数1,01||,1|lg|)(xxxxf，则关于x的方程0)()(2cxbfxf有7个不同实数解的充要条件是（）A．0b且0cB．0b且0cC．0b且0cD．0b且0c三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（本题满分12分）已知直四棱柱1111DCBAABCD中，21AA，底面ABCD是直角梯形，∠A是直角，AB||CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线1BC与DC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18．（本题满分12分）证明：在复数范围内，方程iiziziz255)1()1(||2（i为虚数单位）无解.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点A、B分别是椭圆1203622yx长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PFPA.[来源:Z,xx,k.Com]（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于||MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.[来源:学§科§网Z§X§X§K][来源:学.科.网Z.X.X.K]20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？[来源:学科网ZXXK][来源:Z,xx,k.Com][来源:Z&xx&k.Com][来源:学§科§网][来源:学_科_网]21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对定义域是fD、gD的函数)(xfy、)(xgy，规定：函数gfgfgfDxDxxgDxDxxfDxDxxgxfxh且当且当且当),(),(),()()(.（1）若函数11)(xxf，2)(xxg，写出函数)(xh的解析式；（2）求问题（1）中函数)(xh的值域；（3）若)()(xfxg，其中是常数，且,0，请设计一个定义域为R的函数)(xfy，及一个的值，使得xxh4cos)(，并予以证明.22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.在直角坐标平面中，已知点nnnPPPP2,,,2,3,2,2,2,133221，其中n是正整数，对平面上任一点0A，记1A为0A关于点1P的对称点，2A为1A关于点2P的对称点，．．．，nA为1nA关于点nP的对称点.（1）求向量20AA的坐标；（2）当点0A在曲线C上移动时，点2A的轨迹是函数)(xfy的图象，其中)(xf是以3为周期的周期函数，且当3,0x时，xxflg)(.求以曲线C为图象的函数在4,1上的解析式；（3）对任意偶数n，用n表示向量nAA0的坐标.[来源:Zxxk.Com]数学（理）参考答案说明1，本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同.可参照解答中评分标准的精神进行评分.2．评阅试卷，应坚持每题阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.一、（第1题至第12题）1．14x2．x=03．x+2y－4=04．215．1922yx6．4)1(22yx7．38．739．341510．31k11．3150a12．－1080二、（第13题至16题）[来源:学*科*网Z*X*X*K]13.A14.B15.B16.C三、（第17题至第22题）17．[解法一]由题意AB//CD，BAC1是异面直线BC1与DC所成的角.连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得5AC，[来源:学*科*网]又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，得13,3,2,90CBHBCHCHB又在1CBCRt中，可得171BC，在.17173arccos,171732cos,112121211ABCBCABACBCABABCABC中∴异而直线BC1与DC所成角的大小为.17173arccos[解法二]如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系.则C1（0，1，2），B（2，4，0）),2,3,2(1BCCDBCCD与设1),0,1,0(所成的角为，则,17173arccos.17173||||cos11CDBCCDBC∴异面直线BC1与DC所成角的大小为.17173arccos18．[证明]原方程化简为.31)1()1(||2iziziz设yixzx(、)Ry，代入上述方程得.312222iyixiyx)2(322)1(122yxyx将（2）代入（1），整理得.051282xx)(,016xf方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解.19．[解]（1）由已知可得点A（－6，0），F（4，0）设点P的坐标是},4{},,6{),,(yxFPyxAPyx则，由已知得.623,018920)4)(6(120362222xxxxyxxyx或则由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能Pyxy（2）直线AP的方程是.063yx设点M的坐标是（m，0），则M到直线AP的距离是2|6|m，于是,2,66|,6|2|6|mmmm解得又[来源:学科网ZXXK]椭圆上的点),(yx到点M的距离d有,15)29(94952044)2(222222xxxxyxd由于.15,29,66取得最小值时当dxx20．解：（1）设中低价房面积形成数列na，由题意可知na是等差数列，其中a1=250，d=50，则,22525502)1(2502nnnnnSn令,4750225252nn即.10,,019092nnnn是正整数而∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1=400，q=1.08，则bn=400·(1.08)n－1由题意可知nnba85.0有250+(n－1)50400·(1.08)n－1·0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.21．解（1）11),1()1,(1)(2xxxxxh（2）当.21111)(,12xxxxxhx时若,4)(,1xhx则其中等号当x=2时成立，若,0)(,1xhx则其中等号当x=0时成立，[来源:学#科#网]∴函数),4[}1{]0,()(的值域xh（3）[解法一]令,4,2cos2sin)(xxxf则,2sin2cos)4(2cos)4(2sin)()(xxxxxfxg于是.4cos)2sin2)(cos2cos2(sin)()()(xxxxxxfxfxh[解法二]令2,2sin21)(xxf，则,2sin21)2(2sin21)()(xxxfxg于是.4cos2sin21)2sin21)(2sin21()()()(2xxxxxfxfxh22．[解]（1）设点),(0yxA，A0关于点P1的对称点A1的坐标为),4,2(1yxAA1关于点P2的对称点A2的坐标为)4,2(2yxA，所以，}.4,2{20AA（2）[解法一