2006年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案

２００６年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案答案：２００７年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案答案：答案：２００８年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案答案：2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.设71a，则32312612aaa（AA.24.B.25.C.4710.D.4712.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（C）A.72.B.10.C.105.D.73.3．用[]x表示不大于x的最大整数，则方程22[]30xx的解的个数为（C）A.1.B.2.C.3.D.4.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（BA.314.B.37.C.12.D.47.5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sinCBE＝（D）A.63.B.23.C.13.D.1010.6．设n是大于1909的正整数，使得19092009nn为完全平方数的n的个数是（B）A.3.B.4.C.5.D.6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t是实数，若,ab是关于x的一元二次方程2210xxt的两个非负实根，则22(1)(1)ab的最小值是_____3_______.2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n，则四边形DECF的面积为___2mn___.DABCE3．如果实数,ab满足条件221ab，22|12|21ababa，则ab__1____.4．已知,ab是正整数，且满足15152()ab是整数，则这样的有序数对(,)ab共有___7__对.第二试一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)yxbxcc的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为⊙P的直径且2ABCS△＝，求b和c的值.解（1）易求得点C的坐标为(0,)c，设1A(,0)x，2B(,0)x，则12xxb，12xxc.设⊙P与y轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则121xxcOAOBODOCcc.因为0c，所以点C在y轴的负半轴上，从而点D在y轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点C的坐标为(0,1)，即1c.又222121212()4()44ABxxxxxxbcb，所以21141222ABCSABOCb△，解得23b.二．（本题满分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.FQEPHNMACB解因为BN是∠ABC的平分线，所以ABNCBN.又因为CH⊥AB，所以CQNBQH90ABN90CBNCNB，因此CQNC.又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以CFB90CHB，因此C、F、H、B四点共圆.又FBH=FBC，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.三．（本题满分25分）已知,,abc为正数，满足如下两个条件：32abc①14bcacababcbccaab②是否存在以,,abc为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1将①②两式相乘，得()()8bcacababcabcbccaab，即222222()()()8bcacababcbccaab，即222222()()()440bcacababcbccaab，即222222()()()0bcacababcbccaab，即()()()()()()0bcabcacabcababcabcbccaab，即()[()()()]0bcaabcabcabcabcabc，即222()[2]0bcaababcabc，即22()[()]0bcacababc，即()()()0bcacabcababc，所以0bca或0cab或0cab，即bac或cab或cba.因此，以,,abc为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.解法2结合①式，由②式可得32232232214abcbccaab，变形，得222110242()4abcabc③又由①式得2()1024abc，即22210242()abcabbcca，代入③式，得110242[10242()]4abbccaabc，即16()4096abcabbcca.3(16)(16)(16)16()256()16abcabcabbccaabc3409625632160，所以16a或16b或16c.结合①式可得bac或cab或cba.因此，以,,abc为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.若,,abc均为整数且满足1010()()1abac，则||||||abbcca（B）A．1.B．2.C．3.D．4.2．若实数,,abc满足等式23||6ab，49||6abc，则c可能取的最大值为（C）A．0.B．1.C．2.D．3.3．若ba,是两个正数，且,0111abba则（C）A．103ab.B．113ab.C．413ab.D．423ab.4．若方程2310xx的两根也是方程420xaxbxc的根，则2abc的值为（A）A．－13.B．－9.C．6.D．0.5．在△ABC中，已知60CAB，D，E分别是边AB，AC上的点，且60AED，CEDBED，CDECDB2,则DCB(B)A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.6．对于自然数n，将其各位数字之和记为na，如2009200911a，201020103a，12320092010aaaaa（D）A．28062.B．28065.C．28067.D．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,xy满足方程组3319,1,xyxy则22xy13.2．二次函数cbxxy2的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知ACAB3，30CAO，则c19．3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝5，PC＝5，则PB＝___10___．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.第二试（A）一．（本题满分20分）设整数,,abc（abc）为三角形的三边长，满足22213abcabacbc，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解由已知等式可得222()()()26abbcac①令,abmbcn，则acmn，其中,mn均为自然数.于是，等式①变为222()26mnmn，即2213mnmn②由于,mn均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,mn只有两组：3,1mn和1,3.mn（1）当3,1mn时，1bc，34abc.又,,abc为三角形的三边长，所以bca，即(1)4ccc，解得3c.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30abcccc，解得253c.因此2533c，所以c可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3mn时，3bc，14abc.又,,abc为三角形的三边长，所以bca，即(3)4ccc，解得1c.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30abcccc，解得233c.因此2313c，所以c可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.证明过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2yxbxc的图象经过两点P(1,)a，Q(2,10)a.（1）如果,,abc都是整数，且8cba，求,,abc的值.NQIPCAMB（2）设二次函数2yxbxc的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C.如果关于x的方程20xbxc的两个根都是整数，求△ABC的面积.解点P(1,)a、Q(2,10)a在二次函数2yxbxc的图象上，故1bca，4210aca，解得93ba，82ca.（1）由8cba知8293,938,aaaa解得13a.又a为整数，所以2a，9315ba，8214ca.(2)设,mn是方程的两个整数根，且mn.由根与系数的关系可得39mnba，28mnca，消去a，得98()6mnmn，两边同时乘以9，得8172()54mnmn，分解因式，得(98)(98)10mn.所以981,9810,mn或982,985,mn或9810,981,mn或985,982,mn解得1,2,mn或10,913,9mn或2,97,9mn或1,932,3mn又,mn是整数，所以后面三组解舍去，故1,2mn.因此，()3bmn，2cmn，二次函数的解析式为232yxx.易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0），点C的坐标为（0,2），所以△ABC的面积为1(21)212.第二试（B）一．（本题满分20分）设整数,,abc为三角形的三边长，满足22213abcabacbc，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解不妨设abc，由已知等式可得222()()()26abbcac①令,abmbcn，则acmn，其中,mn均为自然数.于是，等式①变为222()2