2006年全国初中数学联赛试题与答案

2006年全国初中数学联赛第一试一、选择题1．已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点用S、p分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、p1，分别表示四边形EFGH的面积和周长．设111,ppkSSk．则下面关于1kk、的说法中，正确的是【】(A)1kk、均为常值(B)k为常值，1k不为常值(C)k不为常值，1k为常值(D)1kk、均不为常值2．已知m为实数，且cossin、是关于x的方程0132mxx的两根．则4sin4cos的值为【】(A)92(B)31(C)97(D)13．关于x的方程axx|1|2仅有两个不同的实根．则实数a的取值范围是【】(A)a＞0(B)a≥4(C)2＜a＜4(D)0＜a＜44．设.,02,0222abccabab则实数cba、、的大小关系是【】(A)acb(B)bac(C)cba(D)cab5．ba、为有理数，且满足等式324163ba,则ba的值为【】(A)2(B)4(C)6(D)86．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，…．则这列数中的第158个数为【】(A)2000(B)2004(C)2008(D)2012二、填空题7．函数2008||20062xxy的图像与x轴交点的横坐标之和等于．8．在等腰ABCRt中，AC＝BC＝1，M是BC的中点，CE⊥AM于点E，交AB于点F，则S△MBF＝。9．使16)8(422xx取最小值的实数x的值为．10．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC内部(边界及顶点除外)一格点P满足POCPABPBCPOASSSS。就称格点P为“好点”．则正方形OABC内部好点的个数为．注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．第二试A卷一、已知关于x的一元二次方程0)994()32(222baxbax无相异两实根．则满足条件的有序正整数组)(ba，有多少组?二、如图，D为等腰△ABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点．已知∠EDF＝90°．ED＝DF＝1，AD＝5．求线段BC的长．三、如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．求证：(1)O、E、O1三点共线；(2).21ABCOBDB卷三、如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．(1)求证：O、E、01三点共线；(2)若,70oABC求OBD的度数．C卷三、设p为正整数，且2p．在平面直角坐标系中，点),0(pA和点)0,(pB的连线段通过1p个格点,),1,1(1pC)1,1(,).,(1pCipiCpi．证明：(1)若p为质数，则在原点O(0，0)与点),(ipiCi的连线段)1,,2,1(.piOCi上除端点外无其他格点；(2)若在原点O(0，0)与点),(ipiCi的连线段)1,,2,1(piOCi上除端点外无其他格点，则p为质数．2006年全国初中数学联赛第一试一、选择题1．已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点用S、p分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、p1，分别表示四边形EFGH的面积和周长．设111,ppkSSk．则下面关于1kk、的说法中，正确的是(B)．(A)1kk、均为常值(B)k为常值，1k不为常值(C)k不为常值，1k为常值(D)1kk、均不为常值2．已知m为实数，且cossin、是关于x的方程0132mxx的两根．则4sin4cos的值为(C)．(A)92(B)31(C)97(D)13．关于x的方程axx|1|2仅有两个不同的实根．则实数a的取值范围是(D)．(A)a＞0(B)a≥4(C)2＜a＜4(D)0＜a＜44．设.,02,0222abccabab则实数cba、、的大小关系是(A)．(A)acb(B)bac(C)cba(D)cab5．ba、为有理数，且满足等式324163ba,则ba的值为(B)．(A)2(B)4(C)6(D)86．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，…．则这列数中的第158个数为(C)．(A)2000(B)2004(C)2008(D)2012二、填空题7．函数2008||20062xxy的图像与x轴交点的横坐标之和等于0．8．在等腰ABCRt中，AC＝BC＝1，M是BC的中点，CE⊥AM于点E，交AB于点F，则S△MBF＝112。9．使16)8(422xx取最小值的实数x的值为83．10．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC内部(边界及顶点除外)一格点P满足POCPABPBCPOASSSS。就称格点P为“好点”．则正方形OABC内部好点的个数为197．注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．第二试A卷一、已知关于x的一元二次方程2222(23)(499)0xabxab无相异两实根．则满足条件的有序正整数组)(ba，有多少组?由题意：方程有两个相等实根或无实数根△＝0所以：4(a＋2b＋3)^2－4(a^2＋4b^2＋99)＝0即2ab＋3a＋6b＝45a＝(45－6b)/(2b＋3)因为a,b均为正整数所以b＝1,a＝1,2,3,4,5,6,7b＝2,a＝1,2,3,4b＝3,a＝1,2,3b＝4,a＝1b＝5,a＝1所以共有有序正整数组16组二、如图l，D为等腰△ABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点．已知∠EDF＝90°．ED＝DF＝1，AD＝5．求线段BC的长．三、如图2，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．求证：(1)O、E、O1三点共线；(2).21ABCOBDB卷一、(20分)同A卷第一题．二、(25分)同A卷第二题．三、(25分)如图2，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．(1)求证：O、E、01三点共线；(2)若,70oABC求OBD的度数．C卷一、(20分)同A卷第二题．二、(25分)同B卷第三题．三、(25分)设p为正整数，且2p．在平面直角坐标系中，点),0(pA和点)0,(pB的连线段通过1p个格点,),1,1(1pC)1,1(,).,(1pCipiCpi．证明：(1)若p为质数，则在原点O(0，0)与点),(ipiCi的连线段)1,,2,1(.piOCi上除端点外无其他格点；(2)若在原点O(0，0)与点),(ipiCi的连线段)1,,2,1(piOCi上除端点外无其他格点，则p为质数．三、1解：过E作EG垂直AD于G，过F作FH垂直AD于H则角EDG＝角DFH所以三角形EDG和DFH全等，设EG＝x，DG＝y则DH＝x，FH＝y且x^2＋y^2＝1因为三角形AEG和三角形AFH相似，所以x/y＝(5－y）/（5＋x)联立以上二式有y－x＝1/5又（x＋y）^2＋x－y)^2＝2(x^2＋y^2)知x＋y＝7/5解得x＝3/5,y＝4/5又有三角形AEG和三角形ACD相似，所以CD/AD＝EG/AG，即CD＝AD*EG/AG＝5/7所以BC＝2CD＝10/72解：（1）连结OE,OF，O1A,O1E，显然有OE＝OF,O1A＝O1E,角EOF＝2倍角ABE＝角AO1E从而三角形OEF和三角形AO1E相似，角AEO1＝角FEO，则O3O1共线.FOO1EDCBA（2）连结DO,CO角CEF＝角DAE＝角BAF＝角CFE，所以CE＝CF又OE＝OF＝OC，所以三角形OCE全等于三角形OCF，所以角OEC＝角OFC＝角OCF，所以角OEB＝角OCD，从而三角形OCD全等于三角形OEB，所以角ODC＝角OBE，OD＝OB，所以角ODC＝角OBC，角OBD＝角ODB，所以角OBD＝角OBC＋角CBD＝角ODC＋角BDA＝角ADC－角BDO＝角ABC－角OBD所以角OBD＝角ABC/2，所以角OBD＝35°3解：（1）用P(a,b)表示三角形OAB内的格点，a,b为正整数，假设结论不成立，则P位于某线段OCi内部，过P作PE垂直OB于E，过Ci作CiF垂直OB于F，三角形POE和三角形CiOF相似，则b/a＝（p－i)/i其中1＝i＝p－1，易知1＝ai,1＝bp－i从而（a＋b)i＝ap，从而i|ap，因为p是素数，1i＝p－1，故p与i互素，从而i|a故i＝a与ai矛盾，则假设不成立，原结论成立。（2）同理分析，假设结论不成立则p为合数，设p＝ay，x，y属于N＋，且2＝x,y＝p－1，因为三角形OAB内的格点横纵坐标之和可以是2到p－1间任何整数，所以一定有一格点P（a,b)满足a＋b＝x，于是（a＋b)y＝xy＝p即ay＋by＝p因此点(ay,by)必定是Ci中的一个，于是有ya＝i,by＝p－i，故b/a＝（p－i)/i，所以点P（a,b）在线段OCi内部，即在线段OCi上还有其他格点，与已知矛盾，所以原结论成立.