2006年上海市高中数学竞赛

2006年上海市高中数学竞赛试卷（2006年3月26日星期日上午8：30～10：30）题号一二总分1～89101112得分评卷复核【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1．设x，y，z是正实数，满足()()xyzxzyz，则xyz的最大值是．2．设从正整数k开始的201个连续正整数中，前101个正整数的平方和等于后100个正整数的平方和，则k的值为．3．设(2)nn是给定的整数，12,,,nxxx是实数，则1223sincossincosxxxx1sincosnxx的最大值是．4．在△ABC中，已知30,105AB，过边AC上一点D作直线DE，与边AB或者BC相交于点E，使得60CDE，且DE将△ABC的面积两等分，则2CDAC．5．对于任意实数a，b，不等式max,,2006ababbC恒成立，则常数C的最大值是．（注：max,,xyz表示x，y，z中的最大者．）6．设2()cosfxxaxbx，()0,R(())0,Rxfxxxffxx，则满足条件的所有实数a，b的值分别为．7．在直三棱柱中，已知底面积为s平方米，三个侧面面积分别为m平方米，n平方米，p平方米，则它的体积为立方米．8．已知函数:fR→R满足：对任意,xyR，都有11()()()20062005fxfyfxyxy，则所有满足条件的函数f为．二、解答题9．（本题满分14分）已知抛物线22(0)ypxp，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为(0)的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点B，连接BO，交准线于点A，求四边形ABBA的面积．10．（本题满分14分）数列na定义如下：11a，且当2n时，211,1,nnnanana当为偶数时，当为奇数时．已知3019na，求正整数n．yxOF11．（本题满分16分）对一个边长互不相等的凸(3)nn边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？……………密封线……………12．（本题满分16分）设]1,0[,ba，求)1)(1(11baabbaS的最大值和最小值．2006年上海市高中数学竞赛答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1、1272、201003、2n4、365、10036、04a，b＝07、4()()()()2smnpmnppmnnpm8、1()2006fxx二、解答题9．（本题满分14分）已知抛物线22(0)ypxp，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为(0)的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点B，连接BO，交准线于点A，求四边形ABBA的面积．解当2时，22ABBASp．…………………（4分）当2时，令tank．设1122(,),(,)AxyBxy，则由()2pykx，①22ypx，②消去x得，2220pyypk，所以122pyyk，212yyp．③又直线AO的方程为：11yyxx，即为12pyxy，所以，AO与准线的交点的坐标为21(,)2ppBy，而由③知，221pyy，所以B和B的纵坐标相等，从而BBx轴．同理AAx轴，故四边形ABBA是直角梯形．………………（9分）所以，它的面积为B/A/FBAOxy11()22ABBASAABBABABAB222121211()()2xxyyyy221211()12yyk212122111()42yyyyk332222221212(1cot)ppk．………………（14分）10．（本题满分14分）数列na定义如下：11a，且当2n时，211,1,nnnanana当为偶数时，当为奇数时．已知3019na，求正整数n．解由题设易知，0,1,2,nan．又由11a，可得，当n为偶数时，1na；当(1)n是奇数时，111nnaa．………………（4分）由3019na1，所以n为偶数，于是23011111919na，所以，2n是奇数．于是依次可得：1219111na，12n是偶数，24198111111na，24n是奇数，2141118na，64n是偶数，681131188na，68n是奇数，618813na，148n是偶数，1416851133na，1416n是偶数，1432521133na，1432n是奇数，……………（9分）14132312na，4632n是偶数，4664311122na，4664n是奇数，4616421na，11064n是偶数，110128211na，所以，1101128n，解得，n＝238．………………（14分）11．（本题满分16分）对一个边长互不相等的凸(3)nn边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？解设不同的染色法有np种．易知36p．………………（4分）当4n时，首先，对于边1a，有3种不同的染法，由于边2a的颜色与边1a的颜色不同，所以，对边2a有2种不同的染法，类似地，对边3a，…，边1na均有2种染法．对于边na，用与边1na不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边1a颜色相同的情况，而边1a与边na颜色相同的不同染色方法数就是凸n－1边形的不同染色方法数的种数1np，于是可得1132nnnpp，………………（10分）1122nnnnpp．于是33232(1)2(1)2nnnnpp，a3an-1ana2a12(1)2nnnp，3n．综上所述，不同的染色方法数为2(1)2nnnp．………………（16分）12．（本题满分16分）设]1,0[,ba，求)1)(1(11baabbaS的最大值和最小值．解因为)1)(1(11baabbaS)1)(1()1(1)1)(1(122baababbababa1，当0ab或1ab时等号成立，所以S的最大值为1．………………（6分）令)1)(1()1(baababT，abx，则abababababbaababT21)1(1)1(xxxxxx1)1()1()1(2222．………………（10分）下证211551)1(2xxx．①①0)25()215(2xx，所以21155T，从而25513S，当215ba时等号成立，所以S的最小值为25513．……………（16分）