2007年上海高考数学（理）试题

2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学(理科)全解全析一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1、函数lg43xfxx的定义域为_____【答案】34xxx且【解析】4030xx34xxx且2、已知1:210lxmy与2:31lyx，若两直线平行，则m的值为_____【答案】32【解析】2123113mm3、函数1xfxx的反函数1_____fx[来源:学§科§网]【答案】）（11xxx【解析】由(1)11xyyxyxy111xfxxx（）4、方程96370xx的解是_____【答案】3log7x【解析】2(3)63703731xxxx或（舍去），3log7x。5、已知,xyR，且41xy，则xy的最大值为_____【答案】161【解析】211414()44216xyxyxy，当且仅当x=4y=12时取等号.6、函数sinsin32fxxx的最小正周期是_____T【答案】π【解析】sin()sin()(sincoscossin)cos3233yxxxxx213131cos2sincoscossin222422xxxxx31sin(2)423xT。7、有数字12345、、、、，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为_____【答案】3.0【解析】212335310CCC8、已知双曲线22145xy，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_____[来源:Z。xx。k.Com]【答案】)3(122xy【解析】双曲线22145xy的中心为O（0,0），该双曲线的左焦点为F（－3,0）则抛物线的顶点为（－3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是)212(3)yx9、若,ab为非零实数，则下列四个命题都成立：[来源:学.科.网Z.X.X.K]①10aa②2222abaabb③若ab，则ab④若2aab，则ab。则对于任意非零复数,ab，上述命题仍然成立的序号是_____。【答案】②④【解析】对于①：解方程10aa得ai，所以非零复数ai使得10aa，①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则abab，所以③不成立；④显然成立。则对于任意非零复数,ab，上述命题仍然成立的所有序号是②④10、平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面,与两直线12,ll，又知12,ll在内的射影为12,ss，在内的射影为12,tt。试写出12,ss与12,tt满足的条件，使之一定能成为12,ll是异面直线的充分条件【答案】21//ss，并且1t与2t相交（//1t2t，并且1s与2s相交）【解析】作图易得“能成为12,ll是异面直线的充分条件”的是“21//ss，并且1t与2t相交”或“//1t2t，并且1s与2s相交”。11、已知圆的方程2211xy，P为圆上任意一点（不包括原点）。直线OP的倾斜角为弧度，OPd，则df的图象大致为_____【答案】【解析】2cos()2sin,(0,)2OP二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12、已知2,aibi是实系数一元二次方程20xpxq的两根，则,pq的值为A、4,5pqB、4,5pqC、4,5pqD、4,5pq【答案】A[来源:学_科_网]【解析】因为2ai，bi（i是虚数单位）是实系数一元二次方程20xpxq的两个根，所以a=－1，b=2，所以实系数一元二次方程20xpxq的两个根是2i所以[(2)(2)]4,(2)(2)5.piiqii。13、已知,ab为非零实数，且ab，则下列命题成立的是A、22abB、22ababC、2211ababD、baab【答案】C【解析】若aba2b2，A不成立；若220,ababababB不成立；若a=1，b=2，则12,2babaabab,所以D不成立,故选C。14、在直角坐标系xOy中，,ij分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，2ABij，3ACikj，则k的可能值有[来源:学*科*网]A、1个B、2个C、3个D、4个【答案】B【解析】解法一：23(1)BCBAACijikjikj（1）若A为直角，则(2)(3)606ABACijikjkk；（2）若B为直角，则(2)[(1)]101ABBCijikjkk；（3）若C为直角，则2(3)[(1)]30ACBCikjikjkkk。所以k的可能值个数是2，选B解法二：数形结合．如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以k的可能值个数是2，选B15、已知fx是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若2fkk成立，则211fkk成立，下列命题成立的是A、若39f成立，则对于任意1k，均有2fkk成立；B、若416f成立，则对于任意的4k，均有2fkk成立；C、若749f成立，则对于任意的7k，均有2fkk成立；D、若425f成立，则对于任意的4k，均有2fkk成立。【答案】D【解析】对A，当k=1或2时，不一定有2fkk成立；对B，应有2fkk成立；[来源:学科网ZXXK]对C，只能得出：对于任意的7k，均有2fkk成立，不能得出：任意的7k，均有2fkk成立；对D，42516,f对于任意的4k，均有2fkk成立。故选D。三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16、体积为1的直三棱柱111ABCABC中，90ACB，1ACBC，求直线1AB与平面11BCCB所成角。【解析】法一：由题意，可得体积11111122ABCVCCSCCACBCCC△，C1AA1C1BBxyz211CCAA．连接1BC．1111111ACBCACCC，，[来源:学科网ZXXK]11CA平面CCBB11，11BCA是直线BA1与平面CCBB11所成的角．52211BCCCBC，51tan11111BCCABCA，则11BCA＝55arctan．即直线BA1与平面CCBB11所成角的大小为55arctan．法二：由题意，可得体积11111122ABCVCCSCCACBCCC，21CC，如图，建立空间直角坐标系．得点(010)B，，，1(002)C，，，1(102)A，，．则1(112)AB，，，平面CCBB11的法向量为(100)n，，．设直线BA1与平面CCBB11所成的角为，BA1与n的夹角为，则116cos6ABnABn，66arcsin,66|cos|sin，即直线BA1与平面CCBB11所成角的大小为66arcsin．17、在三角形ABC中，252,,cos425BaC，求三角形ABC的面积S。【解析】由题意，得3cos5BB，为锐角，54sinB，10274π3sin)πsin(sinBCBA，由正弦定理得710c，111048sin222757SacB．18、近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为34%。在此后的四年里，增长率以每年2%的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为36%）[来源:Z_xx_k.Com]CB1B1AA1C（1）求2006年的太阳能年生产量（精确到0.1兆瓦）（2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持42%的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的95%，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到0.1%）【解析】（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为[来源:学+科+网Z+X+X+K]%36，%38，%40，%42．则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，则441420(1)95%2499.8(142%)x≥．解得0.615x≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61．[来源:学科网]19、已知函数2(0,)afxxxaRx（1）判断fx的奇偶性（2）若fx在2,是增函数，求实数a的范围【解析】（1）当0a时，2)(xxf，对任意(0)(0)x，，，)()()(22xfxxxf，)(xf为偶函数．当0a时，2()(00)afxxaxx，，取1x，得(1)(1)20(1)(1)20ffffa，，(1)(1)(1)(1)ffff，，函数)(xf既不是奇函数，也不是偶函数．（2）解法一：设122xx≤，22212121)()(xaxxaxxfxfaxxxxxxxx)()(21212121，要使函数)(xf在[2)x，上为增函数，必须0)()(21xfxf恒成立．[来源:学*科*网]121204xxxx，，即)(2121xxxxa恒成立．[来源:学|科|网]又421xx，16)(2121xxxx．a的取值范围是(16]，．解法二：当0a时，2)(xxf，显然在[2)，为增函数．当0a时，反比例函数xa在[2)，为增函数，xaxxf2)(在[2)，为增函数．当0a时，同解法一．[来源:学科网ZXXK]20、若有穷数列12,...naaa（n是正整数），满足1211,....nnnaaaaaa即1iniaa（i是正整数，且1in），就称该数列为“对称数列”。（1）已知数列nb是项数为7的对称数列，且1234,,,bbbb成等差数列，142,11bb，试写出nb的每一项（2）已知nc是项数为211kk的对称数列，且121,...kkkccc构成首项为50，公差为4的等差数列，数列nc的前21k项和为21kS，则当k为何值时，21kS取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数1m，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得211,2,2...2m成为数列中的连续项；当1500m时，试求其中一个数列的前2008项和2008S【解析】（1）设nb的公差为d，则1132314ddbb，解得3d，数列nb为25811852，，，，，，．（2）12112112kkkkkccccccSkkkkcccc)(2121，50134)13(42212kSk，当13k时，12kS取得最大值．12kS的最大值为626．[来源:学。科。网]