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2007年浙江省高中数学竞赛Ａ卷（附参考答案）一、选择题1.如果，则使的的取值范围为（）A.B.C.D.解：显然，且。。要使。当时，，即；当时，，此时无解。由此可得，使的的取值范围为。应选Ｂ。2.已知集合，，则＝（）A.B.ＲC.D.解：没有实数可以使上述不等式成立。故。从而有。应选Ｃ。3.以为六条棱长的四面体个数为（）A.2B.3C.4D.6解：以这些边为三角形仅有四种：，，，。固定四面体的一面作为底面：当底面的三边为时，另外三边的取法只有一种情况，即；当底面的三边为时，另外三边的取法有两种情形，即，。其余情形得到的四面体均在上述情形中。由此可知，四面体个数有３个。应选Ｂ。4.从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有（）种。A.89B.90C.91D.92解：若取出的３个数构成递增等比数列，则有。由此有。当固定时，使三个数为整数的的个数记作。由，知应是的整数部分。，，，,，,,,.因此，取法共有。应选Ｃ5.若在复平面上三个点构成以Ａ为直角顶点的等腰直角三角形，其中，则△ＡＢＣ的面积为（）A.B.C.1D.解：依题意，，。△ＡＢＣ的面积为。应选Ａ。6.2007重的末二位数字是（）A.01B.07C.43D.49解：记ｋ重。题目要求的末二位数。其中Ｍ为正整数。由此可得的末二位数与的末二位数字相同。首先来观察的末二位数字的变化规律。23456789的末二位数字4943010749430107的末二位数字的变化是以４为周期的规律循环出现。（为奇整数）（为正整数）因此，与的末二位数字相同，为43。应选Ｃ。二、填空题7.设为的单调递增数列，且满足，则。解：（由题意可知取正号。）因此，公差为２的等差数列，即。从而可得。答案为。8.设为方程的根（），则。解：由题意，。由此可得，，以及。。答案为：。9.设均为非负实数，则的最小值为。解：在直角坐标系中，作点，，，，。则Ｉ＝＝＋＋＋（应用三角不等式）＋＋＋＝2007。如果取，即，那么Ｉ取到最小值2007。答案为2007。10.设是定义在Ｒ上的奇函数，且满足；又当时，，则＝。解：依题意，，即是以４为周期的周期函数。因为当时，，且为奇函数，所以当时，。此时有。可得。又因为是以４为周期的周期函数，所以也有，（）。答案为（）。11.设，则不超过的最大整数为。解：,,,,不超过的最大整数为。答案为。12.整数，且，则整数组为。解：方程两边同乘以８，得。因为，所以要使左边为奇数，只有，即。则。要使左边为奇数，只有，即。从而有，即。故有。答案为。三、解答题13.已知抛物线和点。过点任作直线，交抛物线于B,C两点。（１）求△ＡＢＣ的重心轨迹方程，并表示成形式；（２）若数列，，满足。试证：。解：（１）设过的直线方程为。又设，，联立方程组，消去，得。从而有，，。…………5分设△ＡＢＣ的重心坐标为，则消去ｋ，即得。…………10分（２）因为，，所以，上式右边等号成立当且仅当。假设，则，…………15分上式右边等号成立当且仅当。由此得到（）。从而有。…………20分14.设正实数及非负实数满足条件求的最小值，并论证之。解：根据，有…………5分…………10分（）…………15分上式取等号当且仅当。…………20分15.设，为子集。若，且存在，，，则称为“好集”。求最大的，使含的任意33元子集为好集。解：令，。显然对任意，不存在，使得成立。故Ｐ是非好集。因此。…………5分下面证明：包含21的任意一个33元子集Ａ一定为好集。设。若1，3，7，42，63中之一为集合Ａ的元素，显然为好集。…………10分现考虑1，3，7，42，63都不属于集合Ａ。构造集合，，，，，，，，，，，，，，。…………15分由上可见，每个集合中两个元素都是倍数关系。考虑最不利的情况，即，也即中16个元素全部选作Ａ的元素，Ａ中剩下16个元素必须从这15个集合中选取16个元素。根据抽屉原理，至少有一个集合有两个元素被选，即集合Ａ中至少有两个元素存在倍数关系。综上所述，包含21的任意一个33元子集Ａ一定为好集，即的最大值为21。……20分