2008年江苏省高中数学竞赛试题与答案

2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1.如果实数m，n，x，y满足anm22，byx22，其中a，b为常数，那么mx+ny的最大值为答：[B]A.2baB.abC.222baD.222ba解由柯西不等式abyxnmnymx))(()(22222；或三角换元即可得到abnymx，当2anm，2byx时，abnymx.选B.2.设)(xfy为指数函数xay.在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，41,21N四点中，函数)(xfy与其反函数)(1xfy的图像的公共点只可能是点答：[D]A.PB.QC.MD.N解取161a，把坐标代入检验，4116121，而2116141，∴公共点只可能是点N.选D.3.在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么zyx的值为答：[A]A.1B.2C.3D.4解第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的5.0x，165y，163z，则1zyx.选A.120.51xyz4.如果111CBA的三个内角的余弦值分别是222CBA的三个内角的正弦值，那么答：[B]A.111CBA与222CBA都是锐角三角形B.111CBA是锐角三角形，222CBA是钝角三角形C.111CBA是钝角三角形，222CBA是锐角三角形D.111CBA与222CBA都是钝角三角形解两个三角形的内角不能有直角；111CBA的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222CBA是锐角三角形，则不妨设cos1A=sin2A=cos12A，cos1B=sin2B=cos22A，cos1C=sin2C=cos12C.则212AA，212BB，212CC，即)(23222111CBACBA，矛盾.选B.5.设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a，b，且”的平面，答：[D]A.不存在B.有且只有一对C.有且只有两对D.有无数对解任作a的平面，可以作无数个.在b上任取一点M，过M作的垂线.b与垂线确定的平面垂直于.选D.二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6.设集合222xxBxxxA和，其中符号x表示不大于x的最大整数，则3,1BA.解∵2x，x的值可取1,0,1,2.当[x]=2，则02x无解；当[x]=1，则12x，∴x=1；当[x]=0，则22x无解；当[x]=1，则32x，∴3x.所以31或x.7.同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是21691P(结果要求写成既约分数）.解考虑对立事件，216916513P.8.已知点O在ABC内部，022OCOBOA.OCBABC与的面积之比为5：1.解由图，ABC与OCB的底边相同，高是5：1.故面积比是5：1.9.与圆0422xyx外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为)0(82xxy或)0(0xy.解由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、2x为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为)0(82xxy，或)0(0xy.10.在ABC中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则222cba=3.解切割化弦，已知等式即CBCBCACABABAcoscossinsincoscossinsincoscossinsin，亦即CBACBAcos)sin(sinsinsin，即CCBA2sincossinsin=1，即1cos2cCab.BOCA所以，122222ccba，故3222cba.三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11.已知函数cbxxxf22)(在1x时有最大值1，nm0，并且nmx,时，)(xf的取值范围为mn1,1.试求m，n的值.解由题1)1(2)(2xxf，……5分1)(xf，11m，即1m，nmxf,)(在上单调减，mmmf11)1(2)(2且nnnf11)1(2)(2.……10分m，n是方程xxxf11)1(2)(2的两个解，方程即)122)(1(2xxx=0，解方程，得解为1，231，231.nm1，1m，231n.……15分12.A、B为双曲线19422yx上的两个动点，满足0OBOA。（Ⅰ）求证：2211OBOA为定值；（Ⅱ）动点P在线段AB上，满足0ABOP，求证：点P在定圆上.证（Ⅰ）设点A的坐标为)sin,cos(rr，B的坐标为)sin,cos(rr，则OAr，OBr，A在双曲线上，则19sin4cos222r.所以9sin4cos1222r.……5分由0OBOA得OBOA，所以22sincos，22sincos.同理，9cos4sin9sin4cos122222r，所以3659141'11||1||12222rrOBOA.……10分（Ⅱ）由三角形面积公式，得OBOAABOP，所以2222OBOAABOP，即22222OBOAOBOAOP.即136591411122222OPOPOBOAOP.于是，5362OP.即P在以O为圆心、556为半径的定圆上.……15分13.如图，平面M、N相交于直线l.A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线DC在平面N内.已知BDC，BDA，CDA，且，，都是锐角.求二面角NlM的平面角的余弦值（用，，的三角函数值表示）.解在平面M中，过A作DA的垂线，交射线DB于B点；在平面N中，过A作DA的垂线，交射线DC于C点.设DA=1，则tanAB，cos1DB，tanAC，cos1DC，……5分并且BAC就是二面角NlM平面角.……10分在ABCDBC与中，利用余弦定理，可得等式costantan2tantancoscoscos2cos1cos122222BC，所以，coscoscos2cos1cos1tantancostantan22222=coscos)coscos(cos2，……15分故得到sinsincoscoscoscos.……20分14.能否将下列数组中的数填入3×3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.（Ⅰ）2,4,6,8,12,18,24,36,48；（Ⅱ）2,4,6,8,12,18,24,36,72.解（Ⅰ）不能.……5分因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数.但是2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×3121211=219·38不是立方数，故不能.3622481218MBDANC（Ⅱ）可以.……15分如右表表中每行、每列及对角线的积都是26·23.……20分