2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题及答案

l2l1P(第2题)α2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题(考试时间：120分钟)题号一二三总分1－89－1415161718得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线．3．草稿纸不上交．一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1.已知011yxyx，则xy的值为（）(A)1(B)0(C)1(D)22.如图，直线l1与直线l2相交，∠α=60°，点P在∠α内(不在l1，l2上)．小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1，再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，……，如此继续，得到一系列点P1，P2，P3，…，Pn．若Pn与P重合，则n的最小值是（）(A)5(B)6(C)7(D)83.甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（）(A)41(B)61(C)81(D)1214.如图，两个反比例函数xky1和xky2（其中1k＞2k＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（）(A)21kk(B)21kk(C)21kk(D)21kk得分评卷人APBDCOxy(第4题)C2C15.在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数42762xxy的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（）(A)5(B)6(C)7(D)86.小明把棱长为4的正方体分割成了29个棱长为整数的小正方体，则其中棱长为1的小正方体有（）(A)22个(B)23个(C)24个(D)25个7.如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE=22，AC=23，BC=6，则⊙O的半径是（）(A)3(B)4(C)34(D)328.7条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＜a7，且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形．若a1=1厘米，a7=21厘米，则a6=（）(A)18厘米(B)13厘米(C)8厘米(D)5厘米二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.若干名同学制作迎奥运卡通图片，他们制作的卡通图片张数的条形统计图如图所示，设他们制作的卡通图片张数的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c的大小关系为．10.△ABC中，∠A和∠B均为锐角，AC=6，BC=33，且33sinA，则Bcos的值为．11.如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，E是AD延长线上一点，若DE=AB=3cm，CE=24cm，则AD的长是cm．12.已知△ABC为钝角三角形，其最大边AC上有一点P(点P与点A，C不重合)，过点P作直线l，使直线l截△ABC所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l可作的条数是．13．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．14.如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB=4cm，BC=6cm，AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为cm2．三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15.（本题满分12分）小王、小李两同学玩“石头、剪刀、布”的划拳游戏．游戏规则为：胜一得分评卷人ABEFCDGHP(第14题)ADBCE(第11题)得分评卷人34210456图片张数人数(第9题)BACDE(第7题)O次得3分，平一次得1分，负一次得0分，一共进行7次游戏，游戏结束时，得分高者为胜．(1)若游戏结束后，小王得分为10分，则小王7次游戏比赛的结果是几胜几平几负？(2)若小王前3次游戏比赛的结果是一胜一平一负，则他在后面4次比赛中，要取得怎样的比赛结果，才能保证胜小李？16.（本题满分12分）在直角坐标系xOy中，一次函数2bkxy0k（）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于3OBOA．(1)用b表示k；(2)求△OAB面积的最小值．得分评卷人17.（本题满分12分）如图，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB=AC=AE．请你说明以下各式成立的理由：(1)∠CAD=2∠DBE；(2)DCBDABAD22．ABDEC(第17题)得分评卷人得分评卷人OABCPQ(第18题)xy18.（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10厘米，OC=6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米／秒．(1)设点Q的运动速度为21厘米／秒，运动时间为t秒，①当△CPQ的面积最小时，求点Q的坐标；②当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标．(2)设点Q的运动速度为a厘米／秒，问是否存在a的值，使得△OCP与△PAQ和△CBQ这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.答案：C解：xyyxyxyx11，∵0yx，∴1xy．2.答案：B解：按题意作图（如图所示），n=6．3.答案：A解：通过列表或画树状图，可知四位同学的比赛顺序共有24种情况，其中由甲交给乙共有6种情况：甲乙丙丁、甲乙丁丙、丙甲乙丁、丁甲乙丙、丙丁甲乙、丁丙甲乙，故所求概率是41246．P5P(P6)P1P2P3P4l2l1(第2题)α4.答案：B解：如图，设P(m，n)，因为点P在C1上，所以mn=k1，A(m，mk2)，B(nk2，n)．OBDOCAPCODPAOBSSSSΔΔ四边形四边形2122)(21kknknmkmmn．5.答案：C解：二次函数42762xxy的图象与x轴有两个交点（23，0），（29，0）．在23x与29x之间共有3个整数2，3，4．当x=2，4时，45y，满足0≤y≤45的整数是0，1，整点有4个；当x=3时，49y，满足0≤y≤49的整数是0，1，2，整点有3个．故共得7个整点．APBDCOxy(第4题)C2C1BACDEF(第7题)OBACD(第10题)ADBCE(第11题)6.答案：C解：若分割出棱长为3的正方体，则棱长为3的正方体只能有1个，余下的均为棱长为1的正方体，共37个，不满足要求．设棱长为2的正方体x个，棱长为1的正方体y个，则.648,29yxyx解得.24,5yx7.答案：D解：636)23(22AB．∵DE∥BC，∴△AED∽△ACB，∴ACAECBED，423226ED．过点O作OF⊥DE，F是垂足，连结OD，则221EDFD．由△OFD∽△BCA，得CAFDBAOD，故所求半径3223263OD．8.答案：B解：只有当a2=2，a3=a1+a2=3，a4=a2+a3=5，a5=a3+a4=8，a6=a4+a5=13时，7条线段中的任意3条都不能构成三角形，故a6=13．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.答案：b＞a＞c解：共有10名同学制作图片，制作的张数为4，4，4，4，5，5，5，6，6，6，a=4.9，b=5，c=4，∴b＞a＞c．10.答案：35解：如示意图，在△ABC中作高CD，∵AC=6，33sinA，∴32sinAACCD．15)32()33(22DB．∴353315cosBCDBB．11.答案：5解：连结AC，易证△CDE≌△CBA(SAS)，∠ACE=90°．因为CA=CE=24cm，所以AE=8cm，故AD=5cm．12.答案：2条或3条解：如图所示，其中∠ABP1=∠C，∠CBP2=∠A，当点P位于点A至P1之间（包括点P1）或位于点C至P2之间（包括点P2）时，满足条件的直线共有3条；而当点P位于点P1至P2之间（不包括点P1，P2）时，满足条件的直线共有2条．13.答案：4解：设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则syx66．①每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则syx33．②由①，②可得xs4，所以4xs．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．14.答案：8解：∵3ΔAEHScm2，2ΔEBFScm2，24ABCDS长方形cm2，∴142)23(24EFGHS四边形(cm2)．易证四边形EFGH是平行四边形，∴7214ΔΔPFGHEPSS(cm2)．∵2ΔPEHScm2，∴5ΔPFGScm2．∴835PFCGS四边形(cm2)，即四边形PFCG的面积为8cm2．三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15.解：（1）设小王胜x次，平y次，x，y为自然数，则.40,7,103xyxyx……3分解得x=3，y=1或x=2，y=4．即小王的比赛结果为3胜1平3负，或2胜4平1负．……2分(2)小王在前3次划拳游戏中，为一胜一平一负，积4分；则小李在前3次划拳游戏中，为一负一平一胜，也积4分．设在后4次比赛中，小王胜x次，平y次，则小王得分为3x+y，小李得分为3(4-x-y)+y，小王要胜出应有：.40,4,)4(33xyxyyxyx……4分ABCP1P2(第12题)4cm4cm3cm3cmABEFCDGHP(第14题)解得;0,4yx;1,3yx;0,3yx;2,2yx;1,2yx.3,1yx即小王四胜、三胜一平、三胜一负、二胜二平、二胜一平一负，或一胜三平都能保证胜小李．……3分16．解：（1）令0x，得22bby，；令0y，得002kkbx，．……2分A，B两点的坐标分别为A（kb2，0），B（0，2b），△OAB的面积为)2()2(21kbbS．由题意，得322)2()2(21bkbkbb，解得)5(222bbbk，0b．……4分（2）由（1）得S=bbb)5)(2(=bbb1072……1分=710bb=1027)10(2bb……3分当010bb，即10b时，S有最小值1027，所以，△OAB面积的最小值为1027．……2分21345OABCPQ(第18题)xyABDEC123456G(第17题)17.解：(1)如图，连接BC，∵AB=AC=AE，∴∠5=∠2，∠2+∠3=∠6．又∠4+∠5=∠6=∠2+∠3，∴∠4=∠3．而∠1=∠4+∠3，∴∠1=2∠4．即∠CAD=2∠DBE．……6分(2)设BC与AD的交点为G，∵∠2=∠5，∠BAG=∠DAB，∴△BAG∽△DAB．∴ADAGAB2．……2分∴)(222AGADADADAGADABAD=DGAD．……2分又∵∠5=∠ADC，∠DBG=∠1，