2008年全国高中数学联赛预赛试题及答案(湖南省)

二00八年湖南省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）1.定义集合运算:ByAxxyzzBA,,|.设0,2A，8,0B，则集合BA的所有元素之和为（）A.16B.18C.20D.222.已知na是等比数列，41,252aa，则Nnaaaaaann13221的取值范围是（）A.16,12B.16,8C.332,8D.332,3163.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（）A.53B.151C.85D.8150４．已知a、b为非零的不共线的向量，设条件:Mbab；条件:N对一切Rx，不等式babxa恒成立．则M是N的（）Ａ．必要而不充分条件Ｂ．充分而不必要条件Ｃ．充分而且必要条件Ｄ．既不充分又不必要条件5．设函数)(xf定义在R上，给出下述三个命题：①满足条件4)2()2(xfxf的函数图象关于点2,2对称；②满足条件)2()2(xfxf的函数图象关于直线2x对称；③函数)2(xf与)2(xf在同一坐标系中，其图象关于直线2x对称.其中，真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.36.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于72和34，M、N分别为AB、CD的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M②弦AB、CD可能相交于点N③MN的最大值为5④MN的最小值为1其中真命题为（）A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④7.设)2008sin(sin0a，)2008sin(cos0b，)2008cos(sin0c，)2008cos(cos0d,则dcba,,,的大小关系是（）Ａ．dcbaＢ．cdabＣ．abdcＤ．bacd8.设函数1463)(23xxxxf，且1)(af，19)(bf，则ba（）A.2B.1C.0D.2二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分.请将正确的答案填在横线上.）9．在平面直角坐标系中，定义点11,yxP、22,yxQ之间的“直角距离”为.),(2121yyxxQPd若yxC,到点3,1A、9,6B的“直角距离”相等，其中实数x、y满足100x、100y，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为．10.已知集合2008|,22yxyx，若点),(yxP、点),(yxP满足xx且yy，则称点P优于P.如果集合中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，则所有这样的点Q构成的集合为．11.多项式310021xxx的展开式在合并同类项后，150x的系数为.（用数字作答）12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为.13.将一个44棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有不同的染法.（用数字作答）14.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第k棵树种植在点kkkyxP,处，其中1,111yx，当2k时，.5251;525515111kkyykkxxkkkk其中，a表示实数a的整数部分，例如26.2，.06.0按此方案，第2008棵树种植点的坐标为.三、解答题（本大题共4小题，共62分.要求有必要的解答过程.）15．（本小题满分14分）设实数,,ba，求证：baab其中等号当且仅当ba,或ba,成立，,为正实数.１6．（本小题满分14分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对于每局比赛，甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31．如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”．试求此项赛事爆出冷门的概率．17.（本小题满分16分）已知函数xxxf1ln)(在区间Nnn,0上的最小值为nb，令nnbna1ln，Nkaaaaaapkkk2421231，求证：.11221nnappp18.（本小题满分18分）过直线07075:yxl上的点P作椭圆192522yx的切线PM、PN，切点分别为M、N，联结.MN（1）当点P在直线l上运动时，证明：直线MN恒过定点Q；（2）当MN∥l时，定点Q平分线段.MN二00八年湖南省高中数学竞赛试题参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分标准适当档次给分.一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）1.解：集合BA的元素：0021z，16822z，0003z，0804z，故集合BA的所有元素之和为16.选A.2.解:设na的公比为q，则81241253aaq，进而21q.所以，数列1nnaa是以821aa为首项，以412q为公比的等比数列.nnnnaaaaaa41332411411813221.显然，33281322121nnaaaaaaaa.选C.3.解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为24335种.每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第1类，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为60223513ACC种；第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为90241513CCC种.故每个场馆至少有一名志愿者的概率为81502439060P.选D.４．解：设aOA，bOB，则bx表示与OB共线的任一向量，bxa表示点A到直线OB上任一点C的距离AC，而ba表示点A到B的距离.当bab时，.OBAB由点与直线之间垂直距离最短知，ABAC，即对一切Rx，不等式babxa恒成立．反之，如果ABAC恒成立，则ABACmin，故AB必为点A到OB的垂直距离，ACOB，即bab.选C.5．解：用2x代替4)2()2(xfxf中的x，得4)4()(xfxf.如果点yx,在)(xfy的图象上，则)4(4xfy，即点yx,关于点2,2的对称点yx4,4也在)(xfy的图象上.反之亦然，故①是真命题.用2x代替)2()2(xfxf中的x，得)4()(xfxf.如果点yx,在)(xfy的图象上，则)4(xfy，即点yx,关于点2x的对称点yx,4也在)(xfy的图象上，故②是真命题.由②是真命题，不难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.6.解：假设AB、CD相交于点N，则AB、CD共面，所以A、B、C、D四点共圆，而过圆的弦CD的中点N的弦AB的长度显然有CDAB，所以②是错的．容易证明，当以AB为直径的圆面与以CD为直径的圆面平行且在球心两侧时，MN最大为５，故③对．当以AB为直径的圆面与以CD为直径的圆面平行且在球心同侧时，MN最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．7.解：因为00002818036052008，所以，0)28sin(sin)28sinsin(00a；0)28sin(cos)28cossin(00b；0)28cos(sin)28sincos(00c；0)28cos(cos)28coscos(00d．又0028cos28sin，故.cdab故选B.8.解：由101311463)(323xxxxxxf，令yyyg3)(3，则)(yg为奇函数且单调递增.而110131)(3aaaf,1910131)(3bbbf,所以9)1(ag,9)1(bg,9)1(bg,从而)1()1(bgag,即11ba,故2ba.选D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分.请将正确的答案填在横线上.）9．解：由条件得9631yxyx①当9y时，①化为661xx，无解；当3y时，①化为661xx，无解；当93y时，①化为16122xxy②若1x，则5.8y，线段长度为１；若61x，则5.9yx，线段长度为25；若6x，则5.3y，线段长度为４．综上可知，点C的轨迹的构成的线段长度之和为1254251．填125．10.解:P优于P，即P位于P的左上方，“不存在中的其它点优于Q”，即“点Q的左上方不存在中的点”.故满足条件的点的集合为00,2008|,22yxyxyx且.填00,2008|,22yxyxyx且．11.解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程150rts①的不超过去100的自然数解的组数.显然，方程①的自然数解的组数为.2152C下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设100s.将方程①化为49)101(rts记101ss，则方程49rts的自然数解的组数为.251C因此，150x的系数为7651251132152CCC.填7651.12.解：因为底面周长为3，所以底面边长为21，底面面积为833S.又因为体积为89，所以高为3.该球的直径为23122，球的体积34343RV.填34.13.解：第一行染2个黑格有24C种染法.第一行染好后，有如下三种情况：（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有24C种染法，第四行的染法随之确定；（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定.因此，共有染法为9024616种.填90.14.解：令5251)(kkkf，则)(5251521511525515)5(kfkkkkkkkf故)(kf是周期为5的函数.计算可知：0)2(f；0)3(f；0)4(f；0)5(f；1)6(f.所以，)2008(5120072008fxx；)2007(5120062007fxx；…；)2(5112fxx.以上各式叠加，得)2008()3()2(5200712008fffxx)3()2()6()3()2(401520071fffffx3401520071x；同理可得4022008y.所以，第2008棵树的种植点为402,3.填402,3.三、解答题（本大题共4小题，共62分.要求有必要的解答过程.）15．证明：由对称性，不妨设ba，令tba，则因ba，可得.bat…………………………（3分）设tt