2008年浙江省高中数学竞赛试题

2008年浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题满分36分，每小题6分）1．已知集合221,,20RAyyxxBxxx，则下列正确的是（）A．1,AByyB.2AByyC.21AByyD.21AByyy或2．当01x时，()lgxfxx，则下列大小关系正确的是（）A．22()()()fxfxfxB.22()()()fxfxfxC.22()()()fxfxfxD.22()()()fxfxfx3．设()fx在[0,1]上有定义，要使函数()()fxafxa有定义，则a的取值范围为（）A．1(,)2；B.11[,]22；C.1(,)2；D.11(,][,)224．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足()(2)0PBPAPBPAPC，则△ABC一定为()A．直角三角形；B.等边三角形；C.等腰直角三角形；D.等腰三角形5．已知2222212fxxabxaabb是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是（）A．2B.2C.22D.46．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为（）A.7B.72C.3D.32二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．22cos(15756)xxxx＝。8．设,,,abcd为非负实数，满足abcdbcdacdabdabc，则abbccddacdadabbc＝。9．设lglglg111()121418xxxfx，则1()()_________fxfx。10.设实系数一元二次方程2220xaxb有两个相异实根，其中一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则41ba的取值范围是。11．已知,R，直线1sinsinsincosxy与1cossincoscosxy的交点在直线yx上，则cossincinsso。12．在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上。AD的长度的最小值为。三、解答题（本题满分60分，每小题20分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）得分评卷人13．已知椭圆C：22221xyab（0ab），其离心率为45，两准线之间的距离为252。（1）求,ab之值；（2）设点A坐标为(6,0)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按顺时针方向排列），求P点的轨迹方程。得分评卷人得分评卷人14．求解不等式211xxa。15．设非负等差数列na的公差0d，记nS为数列na的前n项和，证明：1）若*,,mnpN，且2mnp，则112mnpSSS；2）若5031,1005a则2007112008nnS。四、附加题（本大题满分50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。选考B卷的学生选做本大题，不计入总分。）16．设122008,,,为2008个整数，且19i（1,2,,2008i）。如果存在某个{1,2,,2008}k，使得2008位数1200811kkk被101整除，试证明：对一切{1,2,,2008}i，2008位数1200811iii均能被101整除。17.将3k（k为正整数）个石子分成五堆。如果通过每次从其中3堆中各取走一个石子，而最后取完，则称这样的分法是“和谐的”。试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明。