2009北京市高一数学竞赛复赛试题及答案

KOCFEDAB2009北京市高一数学竞赛复赛试题2009.5.10一、填空题（满分40分，每小题答对得8分）题号12345答案1.已知单位向量a、b,向量c=a+2b,d=5a-4b,c⊥d.求:a,b.2.求值:290cos1+250sin31.3.已知AO交圆O于点C,AB切圆O于点B,M为弧BC中点.且AB=43,AC=4.求:S阴影AMC.4.求值:3214-20+3214+205.在坐标平面内,对任意非零实数m,求抛物线y=mx2+(2m+1)x-(3m+2)上都不通过直线y=-x+1的点坐标.二.（满分15分）已知:RTABC内切圆半径为r,直角平分线长为t.求证:直角边a、b为关于x的二次方程(t-22r)x2+22r2x-2tr2=0的两个根.三.（满分15分）已知函数f(x):Z+Z+满足：(1)f(1)=1;(2)f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.求:函数f(x)解析式.四.（满分15分）如图.ABCD中,AF为BAD的平分线,交DC于点F.,交BC延长线于点F,ECF的外接圆为圆O,圆O交BCD外接圆于点K.求证:(1)点O在BCD外接圆上;(2)AKC=90.五.(满分15分)任意给定的7个实数,求证:必有两个实数x、y，使得0≤xyyx+1-≤33.[写背面]ACOBMNACOBM2009北京市高一数学竞赛复赛试题参考解答2009.5.10一.填空题（满分40分，每小题答对得8分）题号12345答案33348-344(-3,4),(1,0),(1.5,-0.5)1.已知单位向量a、b,向量c=a+2b,d=5a-4b,c⊥d.求:a,b.[分析]:∵|a|=|b|=1∴c⊥d0=cd=(a+2b)(5a-4b)=5-8+6ab=611cosa,b-3∴cosa,b=21∴a,b=3.2.求值:290cos1+250sin31.[分析]:原式=20sin1-20cos31=20cos20sin320sin-20cos3=20cos20sin32)20sin21-20cos23(4=40sin3)30+20cos(4=40sin350cos4=334.3.已知AO交圆O于点C,AB切圆O于点B,M为弧BC中点.且AB=43,AC=4.求:S阴影AMC.[分析]:连接MB，作MN⊥OB于点N,设半径为r易知RT⊿ABO中,r2+AB2=(r+AC)2∴r2+48=(r+4)2解得:r=4=OM=OB=OC∴∠BOA=60,∠BOM=∠COM=6∴ON=OMcos6=23,NM=2,BN=4-23,∴S阴影AMC.=SA0B-SAMB-SM0B–S扇形M0C=83-23(4-23)-4-34=8-344.求值:3214-20+3214+20[分析]:原式=33)2-2(+33)2+2(=(2-2)+(2+2)=45.在坐标平面内,对任意非零实数m,求抛物线y=mx2+(2m+1)x-(3m+2)上都不通过直线y=-x+1的点坐标.[分析]:关于x的方程mx2+(2m+1)x-(3m+2)=-x+1对任意非零实数m均为矛盾等式整理:m(x2+2x-3)=3-2x,故x=23,-1或-3满足条件.对应点坐标为(-3,4),(1,0),(23,-21)abrDCABO二.（满分15分）已知:RTABC内切圆半径为r,直角平分线长为t.求证:直角边a、b为关于x的二次方程(t-22r)x2+22r2x-2tr2=0的两个根.证明:易由知S⊿ABC=S⊿ABO+S⊿ACO+S⊿BCO得:ab=r(a+b+22+ba)∴r=22+++babaab=2+-+22baba另一方面由角平分线定理:ACAD=BCBD∴ACAD=BCACBDAD++∴AD=babab++22又∠ACD=45,sinA=22+baa∴⊿ACD中由正弦定理:CD=45sinsinAAD=22+++2222×baababab=baab+2=t方程中取x=a,则:(t-22r)x2+22r2x-2tr2=[baab+2-2(a+b-22+ba)]a2+2r2(2a-baab+2)=2a2·babababaab++)+(+)+(-222+22a·4)+-+(222baba(1-bab+)=2a2·baabbababa+---+)+(2222+2a2·)+(2+++)+2(-)+(22222bababababa=2a2·baabbababa+---+)+(2222+2a2·)+(2+)+2(-2+2+22222bababaabba=2a2·baabbababa+---+)+(2222+2a2·bababaabba++)+(-++2222=0∴x=a为原方程的根.同法可计算得x=b也为原方程的根.原命题得证.三.（满分15分）已知函数f(x):Z+Z+满足：(1)f(1)=1;(2)f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.求:函数f(x)解析式.解:令y=1,则对任意xN*,均有:f(x+1)=f(x)+1+x当x≥2时,f(x)=f(x-1)+x,f(x-1)=f(x-2)+(x-1),…,f(2)=f(1)+2上述x-1个式子相加:f(x)=x+(x-1)+…+2+f(1)=x+(x-1)+…+2+1=2+2xx而x=1时,上式使用.故对任意xN*,有f(x)=2+2xx.K(O)TPQO1CFEDABK(O)TPQO1CFEDAB四.（满分15分）如图.ABCD中,AF为BAD的平分线,交BC于点E,交DC延长线于点F.ECF的外接圆为⊙O,⊙O交BCD外接圆于点K.求证:(1)点O在BCD外接圆上;(2)AKC=90.证明:(1)设BCD外接圆圆心为点Q取∠FCD的平分线交⊙Q于点O1下证O1即为ECF外接圆圆心连接O1E、O1C、O1F.先证O1E=O1C取∠BCD的平分线交⊙Q于点P,则Q1CP=90,弧DP=弧BP.连接O1P,则O1P为⊙Q直径,故为O1P垂直平分弦BD∴DO1=BO1,又O1DE=O1BC易证:EC=FC,AB=FB∴DE=DC-EC=AB-FC=BF-FC=BC∴⊿O1DE≌⊿O1BC∴O1E=O1C易证:O1E=O1F∴O1为ECF外接圆圆心O故:点O在BCD外接圆上(2)设直径O1P与弦BD交点为T,则T为中点连接AC、KT,则T在AC上,且AT=CT又⊙Q与⊙O连心线垂直平分公共弦KC∴KT=CT=AT∴AKC=90五.（满分15分）任意给定的7个实数,求证:必有两个实数x、y，使得0≤xyyx+1-≤33.证明:设7个实数的值为tani(i=1,2,,7),其中i(-2,2)则由抽屉原理,存在i、j（ij）,满足|i-j|≤1-7)2-(-2=6.不妨设i≤j,则0≤j-i≤6.令x=tanj,y=tani则xyyx+1-=ijjtantan+1tan-tani=tan(j-i)∈[0,tan6]=[0,33].原命题得证.