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第1页（共6页）专业：线年级：封所在院校：密身份证号：姓名：首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（非数学类，2009）考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：100分.题号一二三四五六七八总分满分205151510101510100得分注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.一、填空题（每小题5分，共20分）.（1）计算dxdyyxxyyxD∫∫−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++11ln)(=_____________，其中区域D由直线1=+yx与两坐标轴所围三角形区域.（2）设()fx是连续函数，满足220()3()2fxxfxdx=−−∫，则()fx=___________________.（3）曲面2222xzy=+−平行平面220xyz+−=的切平面方程是________________________.（4）设函数()yyx=由方程()ln29fyyxee=确定，其中f具有二阶导数，且1f′≠，则22dydx=____________________.答案：1615，21033x−，2250xyz+−−=，223[1()]()[1()]fyfyxfy′′′−−−′−.得分评阅人第2页（共6页）二、（5分）求极限20lim()exxnxxxeeen→+++，其中n是给定的正整数.解：原式20limexp{ln()}xxnxxeeeexn→+++=20(ln()ln)exp{lim}xxnxxeeeenx→+++−=………………….….…（2分）其中大括号内的极限是00型未定式，由LHospital′法则，有20(ln()ln)limxxnxxeeeenx→+++−20(2)limxxnxxxnxxeeeneeee→+++=+++(12)1()2ennen++++==于是原式=1()2nee+.……………………………………..…………..…(5分)三、（15分）设函数()fx连续,10()()gxfxtdt=∫，且0()limxfxAx→=,A为常数，求()gx′并讨论()gx′在0x=处的连续性.解：由题设，知(0)0f=，(0)0g=.…………….…………...…(2分)令uxt=，得0()()xfudugxx=∫(0)x≠，……………………………………..……（5分）从而02()()()xxfxfudugxx−′=∫(0)x≠…………………………………….……(8分)由导数定义有0200()()(0)limlim22xxxfudufxAgxx→→′===∫……………………………………….……(11分)由于00220000()()()()lim()limlimlim(0)22xxxxxxxfxfudufudufxAAgxAgxxx→→→→−′′==−=−==∫∫，从而知()gx′在0x=处连续.…………………………………………….……….(15分)得分评阅人得分评阅人第3页（共6页）专业：线年级：封所在院校：密身份证号：姓名：四、（15分）已知平面区域{(,)|0,0}Dxyxyππ=≤≤≤≤，L为D的正向边界，试证：（1）sinsinsinsinyxyxLLxedyyedxxedyyedx−−−=−∫∫；（2）sinsin252yxLxedyyedxπ−−≥∫.证法一：由于区域D为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.(1)左边0sinsinsinsin00()yxxxedyedxeedxππππππ−−=−=+∫∫∫，...…(4分)右边0sinsinsinsin00()yxxxedyedxeedxππππππ−−=−=+∫∫∫，……..…（8分）所以sinsinsinsinyxyxLLxedyyedxxedyyedx−−−=−∫∫.……………………………(10分)(2)由于sinsin22sinxxeex−+≥+，…….…………………….…...(12分)sinsinsinsin205()2yxxxLxedyyedxeedxπππ−−−=+≥∫∫.……..…….…(15分)证法二：（1）根据Green公式，将曲线积分化为区域D上的二重积分sinsinsinsin()yxyxLDxedyyedxeedδ−−−=+∫∫∫……………………………...…(4分)sinsinsinsin()yxyxLDxedyyedxeedδ−−−=+∫∫∫………………………………(8分)因为关于yx=对称，所以sinsinsinsin()()yxyxDDeedeedδδ−−+=+∫∫∫∫，故sinsinsinsinyxyxLLxedyyedxxedyyedx−−−=−∫∫.………………….……(10分)(2)由22022(2)!nttnteetn∞−=+=≥+∑sinsinsinsinsinsin25()()2yxyxxxLDDxedyyedxeedeedδδπ−−−−=+=+≥∫∫∫∫∫.…….……….……(15分)得分评阅人第4页（共6页）五、（10分）已知21xxyxee=+，2xxyxee−=+，23xxxyxeee−=+−是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解：根据二阶线性非齐次微分方程解的结构的有关知识，由题设可知：2xe与xe−是相应齐次方程两个线性无关的解，且xxe是非齐次的一个特解.因此可以用下述两种解法………………………………………………………….…...……(6分)解法一：故此方程式2()yyyfx′′′−−=………………….……..……..……(8分)将xyxe=代入上式，得()()()2222xxxxxxxxxxfxxexexeexeexexeexe′′′=−−=+−−−=−，因此所求方程为22xxyyyexe′′′−−=−.…………………………………………(10分)解法二：故212xxxyxecece−=++，是所求方程的通解，……………………(8分)由2122xxxxyexecece−′=++−，21224xxxxyexecece−′′=+++，消去12,cc得所求方程为22xxyyyexe′′′−−=−.……………………………………………………....…(10分)六、（10分）设抛物线22lnyaxbxc=++过原点，当01x≤≤时，0y≥，又已知该抛物线与x轴及直线1x=所围图形的面积为13.试确定,,,abc使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.解：因抛物线过原点，故1c=由题设有1201()323abaxbxdx+=+=∫.即2(1)3ba=−，………..………….…(2分)而122220111()[]523Vaxbxdxaabbππ=+=++∫221114[(1)(1)]5339aaaaπ=+−+⋅−.…………………….…………….…(5分)令2128[(1)]053327dvaaadaπ=+−−−=，得54a=−，代入b的表达式得32b=.所以0y≥，……………..…………(8分)得分评阅人得分评阅人第5页（共6页）专业：线年级：封所在院校：密身份证号：姓名：又因25242284|[]05327135advdaππ=−=−+=及实际情况，当53,,142abc=−==时，体积最小.………….……….…(10分)七、（15分）已知()nux满足1()()nxnnuxuxxe−′=+（n为正整数），且(1)neun=，求函数项级数1()nnux∞=∑之和.解：先解一阶常系数微分方程，求出()nux的表达式，然后再求1()nnux∞=∑的和.由已知条件可知1()()nxnnuxuxxe−′−=是关于()nux的一个一阶常系数线性微分方程，故其通解为1()()()ndxdxnxxnxuxexeedxcecn−−∫∫=+=+∫，……………..…..(6分)由条件(1)neun=，得0c=，故()nxnxeuxn=，从而111()nxnxnnnnxexuxenn∞∞∞=====∑∑∑.…………….……..……...…(8分)1()nnxsxn∞==∑，其收敛域为[1,1)−，当(1,1)x∈−时，有111()1nnsxxx∞−=′==−∑，………………………..…………………….….(10分)故01()ln(1)1xsxdtxt==−−−∫.………………..…………………(12分)当1x=−时，11()ln2nnuxe∞−==−∑.…………………………...…(13分)于是，当11x−≤时，有1()ln(1)xnnuxex∞==−−∑.……….…..…(15分)得分评阅人第6页（共6页）八、（10分）求1x→−时，与20nnx∞=∑等价的无穷大量.解：2220001tntnxdtxxdt∞+∞+∞=≤≤+∑∫∫，………………….…………….….….…(3分)221ln00ttxxdtedt−+∞+∞=∫∫………………….…….………….....….(7分)2011121lnlntedtxxπ+∞−==∫121xπ−∼.……………………….…...(10分)得分评阅人