2009年广州市高二数学竞赛试题与答案

2009年广州市高二数学竞赛试题2009.5.10考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足1iz＝3，则复数z的实部与虚部之和为A．3iB．11i3C．23D．432．已知sin23sin，且1,,22knnkZ，则tantan的值为A．2B．1C．12D．23．已知定义在R上的函数()fx为奇函数，且函数(21)fx的周期为5，若15f，则(2009)(2010)ff的值为A．5B．1C．0D．54．已知[]x表示不超过x的最大整数，则2222log1log2log3log2009的值为A．18054B．18044C．17954D．17944二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．5．关于x的不等式01aaxax的解集是．6．在区间1,1上随机任取两个数yx,，则满足4122yx的概率等于．7．设2()min23,1,113fxxxx，则max()fx的值为．8．计算机执行以下程序：①初始值3x，0s；②2xx；③ssx；④若100s，则进行⑤，否则从②继续执行；⑤打印x；⑥结束．那么由语句⑤打印出的数值为．9．在ABC中，已知21tanA，31tanB，若ABC最长边的长为1，则最短边的长为．10．已知定点2,0A，点,Pxy的坐标满足430,35250,0.xyxyxa当||OAOAOP（O为坐标原点）的最小值是2时，实数a的值是．三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．11．（本小题满分15分）已知向量11,,2,cos2sinsinxxxab，其中2,0x．（1）试判断向量a与b能否平行，并说明理由？（2）求函数()fxab的最小值．12．（本小题满分15分）如图1所示的等边△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC边的中点．现将△ABC沿CD折叠成如图2所示的直二面角A—DC—B．（1）试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求四面体A-DBC的外接球体积与四棱锥D-ABFE的体积之比．13．（本小题满分20分）已知直线1yx与椭圆22221(0)xyabab相交于A、B两点，且OAOB（其中O为坐标原点）．（1）若椭圆的离心率为12，求椭圆的方程；（2）求证：不论,ab如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P的坐标．ABCDEF图1图2ABCDEF14．（本小题满分20分）定义一种新运算，满足1knkn（,*,nkN为非零常数）．（1）对于任意给定的k，设1,2,3,nankn，证明：数列na是等差数列；（2）对于任意给定的n，设1,2,3,kbnkk，证明：数列kb是等比数列；（3）设1,2,3,ncnnn，试求数列nc的前n项和nS．15．（本小题满分20分）定义函数(,)(1),,0,yFxyxxy．（1）令函数32()1,log3fxFxx的图象为曲线1C，求与直线03154yx垂直的曲线1C的切线方程；（2）令函数322()1,log1gxFxaxbx的图象为曲线2C，若存在实数b使得曲线2C在001,4xx处有斜率为8的切线，求实数a的取值范围；（3）当,*xyN，且yx时，证明,,FxyFyx．2009年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：每小题6分，满分24分。1．D2．A3．D4．A二、填空题：每小题6分，满分36分。5．axx21|6．167．58．219．5510．2简答与提示：4．根据题意，当122kkn时，2[log],nkkN，于是1021321091002212222292210200921M18054．7．作图比较容易得到max()5fx．8．设程序执行n次后，x的值为nx，s的值为nS，则23nxn，nS是数列nx的前n项和，由24100nSnn，可得9n，则929321x．10．||OAOAOP表示向量OP在OA上的射影长，画出可行域，知当P点落在直线ax上时，||OAOAOP取得最小值为OA，故2a．三、解答题：满分90分。11．解：（1）若ab，则有02sin12cossin1xxx．∵0,2x，∴sin0x．∴22cosx，这与cos21x矛盾．∴a与b不能平行．（2）∵2cos2()sinsinxfxxxabxxxxsinsin21sin2cos22xxsin1sin2，∵0,2x，∴sin0,1x，∴22sin1sin22sin1sin2)(xxxxxf．当xxsin1sin2，即22sinx时取等号，故函数)(xf的最小值为22．12．解：（1）如图所示，∵E、F分别为AC、BC的中点，∴ABEF．∵AB面DEF，EF面DEF，∴AB面DEF．（2）以DA，DB，DC为棱补成一个长方体，则四面体ADBC的外接球即为长方体的外接球．设球的半径为R，则2222)2(3Raaa，∴2245aR．于是球的体积33165534aRV．又36331aADSVBDCBDCA，32432131aADSVDFCDFCE，383aVVVDFCEBDCAABFED．915201ABFEDVV．13．（1）解：由22221,1.xyabyx222222,()2(1)0,yabxaxab消去得222222222410,1.aaabbab由整理得设1122(,),()AxyBxy，∴212222212222,(1).axxababxxab.1)()1)(1(21212121xxxxxxyyOAOBO其中为坐标原点，121212120,2()10xxyyxxxx即．ABCDEF22222222(1)210abaabab．即222220abab．222214abea，∴2277,68ab．故椭圆的方程为2217768xy．（2）证明：由（1）有222220abab，∴2211122ab，即222222221ab．则不论a，b如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点P22,22．14．（1）证明：∵1knkn（,*,nkN为非零常数），∴11,2,3,knanknn．∴11111kkknnaann．∵,k为非零常数，∴数列na是等差数列．（2）解：∵1knkn（,*,nkN为非零常数），∴11,2,3,kkbnknk．∴11kkkkbnbn．∵为非零常数，∴数列kb是等比数列．（3）解：∵1knkn（,*,nkN为非零常数），∴1nncnnn．1202132nnnncccS，①当1时，1122nnnSn．当1时，2323nnSn．②①②得：2111nnnSn，∴2111nnnnS，综上可知，2(1),121,1(1)1nnnnnSn当时,当时.15．（1）解：xxxxFxfxx3)11()3(log,1)(3)3(log3232，由0)3(log32xx，得133xx．又41533)(2xxf，由0fx，得32x。133xx，32x．又3928f，切点为39,28．存在与直线03154yx垂直的切线，其方程为9153842yx，即027415yx．（2）解：1)1(log,1)(23232bxaxxbxaxxFxg．由0)1(log232bxaxx，得023bxaxx．由823)(2baxxxg，得8232axxb．082)823(2322323xaxxaxxxaxxbxaxx在)4,1(x上有解．0822axx在1,4x上有解得xxa82在1,4x上有解，max82,1,4axxx．而844)4(282xxxxxx，当且仅当2x时取等号，8a．（3）证明：),(),(xyFyxFxyyx)1()1(ln(1)ln(1)yxxyln(1)ln(1),*,xyxyxyxyN．令xxxh)1ln()(，则2)1ln(1)(xxxxxh，当2x时，∵1ln11xxx，∴0)(xh，)(xh单调递减，当yx2时，)()(yhxh．又当21yx且时，11ln2ln322hh，当,*xyN．且yx时，)()(yhxh，即),(),(xyFyxF．