2009年全国高中数学联赛天津赛区预赛

2009年全国高中数学联赛天津赛区预赛9月20日（考试时间：上午9：00－11：00）考生注意：1、本试卷共两个大题，（11个小题），全卷满分100分；2、用圆珠笔或钢笔作答一、填空题：本大题共8小题，每小题7分，共56分。请将答案写在题中横线上。1．设,,abc为实数，且满足15abc，222100abc，则a的最大值和最小值的积为_________________．2．已知ABC是正三角形，,MN分别为边,BCBA的中点，O为BMN的外心，在边AC上有一点D，使得AOD的面积等于ABC的面积的1n，其中n为大于1的正整数，则ADDC的值为________________．3．甲在黑板上写下正整数1，2，…，2009，然后背对黑板，让乙将黑板上的这些数擦去若干个后再添加擦去数之和被7除的余数。当经过若干次操作以后使黑板上只剩下两个数，其中的一个数是一位数。甲问乙：“剩下的两个数中较大的数是几？”乙答：“100。”则剩下的两个数中的那个一位数为_____________．4．方程221221xxxxxxx的解的个数为_____________，其中为圆周率。5．已知正整数10000nabc，其中,,abc均为素数，且23abc，414acb，则n的值为_________________．6．已知二次函数22211(2)(2)nnyxxnnnn在x轴上截得的线段长为nd，则1001nnd_____________．7．已知椭圆1：22221xyab和双曲线2：22221xyab，其中0ab，椭圆1的左右焦点分别为12,FF，双曲线2的左右焦点分别为34,FF，过4F作一条直线，与椭圆交于两个不同的点,AB，其中B在4,AF之间，直线3FA与2FB交于点C，若直线231,,AFBFCF三线交于一点，则22ab_______________．8．已知正200边形12200AAA，连对角线9iiAA（1,2,,200i），其中2009iiAA（1,2,,9i）．则这200条对角线在正200边形的内部有______________个不同的交点。二、解答题：本大题共3小题，共44分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。9．（本小题14分）已知,CD是以AB为直径的半圆O上的两个点，弦,ADBC交于点E，,FG分别是,ACBD延长线上的点，且满足AFBGAEBE，若,AEFBEG的垂心分别为12,HH，证明（1）12,AHBH的交点K在圆O上；（2）,,FKG三点共线。10．（本小题15分）已知正数列{}na（0n）满足12nnnaama，2,3,n，其中m为实参数，若020091aaa，求m的值．11．（本小题15分）将边长为3的正ABC的各边三等分，过每个分点分别作另外两边的平行线，称ABC的边及这些平行线所交出的10个点为格点。若在这10个格点中任取n个格点，一定存在三个格点能构成一个等腰三角形（包括正三角形），求n的最小值。