2009年肇庆市八年级数学竞赛_决赛试题_有详细解析

2009年肇庆市八年级数学竞赛（决赛）试题有详细解析一、选择题（每小题5分，共30分）1.若四个有理数abcd、、、满足11112006200720082009abcd，则abcd、、、的大小关系是（）CA．acbdB．bdacC．cabdD．dbac1、解：不妨令kdcba120091200812007120061，则2006ka，2007kb，2008kc，2009kd2、如图1，已知AB∥EF，∠BAC=p，∠ACD=x，∠CDE=y，∠DEF=q，则用p、q、y来表示x.得（）A．x=p+y-q+180°B．x=p+q-y+180°C．x=p+q+yD．x=2p+2q-y+90°2、解：连接AE，设∠CAE=a，∠DEA=b，根据AB∥EF，得180qbap①在四边形ACDE中，360ybax②②－①得180qpyx选B3、计算22221111(1)(1)(1)(1)23910（）A．1021B．1321C．920D．11203、解：原式=)1011)(1011()411)(411)(311)(311)(211)(211(2011101121101110943343223214、若2222107851MNMabaNaba，，则的值（）A．一定是负数B．一定是正数C．一定不是正数D．不能确定（图1）ABCDEF4、解：03)23(712922aaaNM5、不等边三角形ABC的两条高分别是4和12，若第三边上的高也是整数，那么这条高最长的可能是（）A．4B．5C．6D．75、解：设三边分别为a、b、c，第三边上的高为h，则chba211221421则ba3，hbc12由cba得hbbb123，3h由cba得hbbb123，6h则h最大可以是56、如果一条直线l经过不同的三点(,),(,),(,)AabBbaCabba，那么直线l经过（）AA．第二、四象限B．第一、二象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限6、因为A、B、C是不同的点，所以ba，将A、B代入直线ckxy得bcak，acbk，两式相减得)()(abkba，则1k把点C代入，得，cbaab)(，解得0c则直线xy通过二、四象限二、填空题（每小题5分，共30分）7、方程200920092009x的解是.7、解11x或11x，则2x或0x8、如图2，AB、CD相交于E，CF、BF分别是∠ACD和∠ABD的平分线，它们相交于点F，若∠A+∠D=130°，则∠F=度.8、设∠ACE=∠DCE=x，∠DBE=∠ABE=y，∠DCB=a,∠ABC=b在△ABC中，∠A+2x+a+b=180°；在△DBC中，∠D+2y+b+a=180°；两式相加，得（∠A+∠D）+2（x+y+a+b）=360°；则x+y+a+b=115°；则∠F=65°9、一个自然数n的所有数字之和记为S（n），若n+S（n）=2009，则n=.9、设abcdn，则20092111011001dcba，（1）当2a时，7211101dcb，①若0b，或0c时，左边大于右边，式子不成立②若0cb时，72d，奇偶性不符合；（2）当1a时，1008211101dcb，因为117211dc，所以891101b，所以9b所以99211dc，则0,9dc10、某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加英语竞赛有120名女生，80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生都参加了，那么参加数学竞赛而没有参FEDCBA（图2）加英语竞赛的女生有人.10、解：如图所示，75x，参赛有260人，参赛人次有（120+80）+（120+80）则140260200200yx，则65y，80名女生参加数学竞赛，则参加数学而没有参加英语竞赛的女生1580yb11、如图3，C、D是线段AB上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB的长度是.11、设AC=a，CD=b,DB=c,AC+AD+AB+CD+CB+DB=29a+a+b+a+b+c+b+b+c+c=29,3a+4b+3c=29，3AB+b=29，AB与b均为正整数由a，b，c均为正整数，得3221a，4231b，3221c经过检验，7,2cab或3,5cab相应地，AB=9或AB=812、若22220072008200924,axbxcxabc，，，且则111abcbcacababc的值为.12、111abcbcacababcabcabacbccbaabcabacbccba2)(2222222DCBA（图3）abcaccbba2)()()(222814862422)1()1(222以下三、四、五题要求写出解题过程。三、（本题满分20分）13、已知abc、、为三个非负数，且满足325231abcabc，.⑴求c的取值范围；⑵设37Sabc，求S的最大值和最小值.13、（1）由132523cbacba得0117037cbca则11773c（2）37Sabc237)117()37(3cccc因为11773c所以2112375c，故S最大值为211，最小值为75四、（本题满分20分）14、如图4，AD是△ABC的角平分线，且∠B=∠ADB，过点C作AD的延长线的垂线，垂足为M.⑴若DCMBAD，试用表示；⑵求证：AB+AC=2AM解：⑴∵CM⊥AM，∠DCM=α∴∠CDM=∠ADB=∠B=90°－α∴∠BAD=180°－2∠ABD=180°－2（90°－α）=2α⑵延长AM到F使MF=AM，则有AC=CF∵AD平分∠CAB∴∠CAF=∠BAF=∠F∴CF‖AB∴∠FCD=∠ABD=∠ADB=∠CDF∴CF=DF∵AD+DF=2MA∴AB+AC=2MA五、（本题满分20分）15、已知正整数abc、、满足.abcabbccaabc，且求所有符合条件的abc、、.15解：∵ab+bc+ca=abc∴,1111bac①∵cba∴abacc31113（图4）ACDBM所以.31a，3c结合①得2a则2111bc∵cb.bbcc3113，所以41b∵cba2a所以3b把2a，3b代入①求得6c由上得，c=6所以，唯一解：a=2,b=3,c=6.