2010年北京市高一数学竞赛模拟题

2010年北京市高一数学竞赛模拟题（一）一、填空题（每小题8分）1．集合M={x|x=2n，n∈N*，且n≤2005}，已知22005是个604位数，则M中最高位是1的元素共有个。将M中元素从小到大排列，第1个是1，以后当从m位增加到m+1位时，第1个m+1位数的最高位总是1，且只有这1个m+1位数的最高位数是1，所以M中最高位是1的元素共有604个。2．若O是锐角ABC内一点，满足222222OABCOBCAOCAB，则点O是ABC的心。（垂）3.0,22，且112sin()sin()sin，112cos()cos()cos，则tan14.已知32009sin2010fxxx且1,1x。若2110fafa，则a的取值范围是在_____________。5.将一副学生用三角板拼成如图所示的四边形ABCD，其中045CBDCDB，0260BADBDA，设对角线CA与边CB所成的角为，则tan312二、（本小题15分）已知一次函数()fxaxb，对任意的,[0,1]xy都满足1()()4fxfyxy，试确定这样的()fx。三、（本小题15分）圆内接四边形ABCD的一组对边,ABDC的延长线交于点P，另一组对边,ADBC的延长线交于点Q，自,PQ分别作该圆的切线,PEQF，其中,EF是切点，连结PQ。求证：以线段,,PEQFPQ为边构成的三角形是直角三角形。EPQABCDFABCD四、（本小题15分）任给7个互不相等的实数，求证：其中至少有两个实数,xy，使得3013xyxy证明：由不等式的结构，学生容易联想到两角差的正切公式tantantan()1tantan，以及3tan303，从而问题转化为：任给7个不相等的实数，求证：其中至少有两个实数x、y，使得tanx、tany，且030。我们知道，实数集R（正切函数的值域）与区间)90,90(上的角具有一一对应的关系，因此，不妨设这7个不相等的实数为127aaa如图过点)0,1(作前一段单位圆的切线l，在l上取点),1(iiaA，边结射线(1,2,,7)iOAi，则有12236717180AOAAOAAOAAOA∵180307，∴由抽屉原理知，必存在i，使130iiAOA。记1tan,taniixaya，其中)90,90(,则030思路接通，问题得以解决。五、（本小题15分）设F是所有有序n元组12(,,,)nAAA构成的集合，其中(1)iAin都是集合{1,2,3,,2002}的子集，设A表示集合A的元素数目，对F中的所有元素12(,,,)nAAA，求12nAAA的总和，即1212(,,,)nnAAAFAAA解：因为{1,2,3,,2002}有20022个子集，所以20022002(2)2nnF设a是{1,2,3,,2002}中某个固定的元素。为了在12nAAA中不含有a，则每个(1)iAin都不含有a。因为{1,2,3,,2002}的不含有a的子集有20012个，故使12nAAA不含有a的有序n元组12(,,,)nAAA有20012001(2)2nn个，从而有2002200122nn个有序n元组12(,,,)nAAA，使得12naAAA。于是，当计算数1212(,,,)nnAAAFAAA时，元素a被计算了2002200122nn次。既然{1,2,3,,2002}有2002个元素，故122002200112(,,,)2002(22)nnnnAAAFAAA