2010年全国初中数学竞赛试题

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题说明：考试时间：2010年3月21日上午9：30～11：30题号一二三总分1-56-1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答．2.解答书写时不要超过装订线．3.草稿纸不上交．一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得0分）1．若2010abbc，，则abbc的值为（）．（A）1121（B）2111（C）11021（D）210112．若实数a，b满足21202aabb，则a的取值范围是（）．（A）a≤2（B）a≥4（C）a≤2或a≥4（D）2≤a≤43．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=23，BC=422，CD＝42，则AD边的长为（）．（A）26（B）64（C）64（D）6224．在一列数123xxx，，，……中，已知11x，且当k≥2时，1121444kkkkxx（取整符号a表示不超过实数a的最大整数，例如2.62，0.20），则2010x等于（）．（第3题）市区（县）学校姓名准考证号………………………………密……………………………………………………………封……………………………………………………线………………………………(A)1(B)2(C)3(D)45．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）．（A）（2010，2）（B）（2010，2）（C）（2012，2）（D）（0，2）二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6．已知a＝5－1，则2a3＋7a2－2a－12的值等于．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则AEAD．10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若n的最小值0n满足020003000n，则正整数k的最小值为．（第5题）（第8题（第9题）三、解答题（共4题，每小题20分，满分80分）11．如图，抛物线2yaxbx（a0）与双曲线kyx相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标．12．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF.求证：tanEFPADBC．（第12B题）（第12A题）（第12题）（第11题）13．实数a，b关于x，y的方程组2221,0xyxxyaxbxa有实数解（x，y）．（1）求证：y≥2；（2）求22ab的最小值．14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？②①………………………………密……………………………………………………………封……………………………………………………线………………………………