2010年上海高考数学（文）试题

2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。[来源:Zxxk.Com]1.已知集合1,3,Am，3,4B，1,2,3,4AB则m2。解析：考查并集的概念，显然m=2[来源:学科网ZXXK]2.不等式204xx的解集是24|xx。[来源:学科网]解析：考查分式不等式的解法204xx等价于（x-2）(x+4)0,所以-4x23.行列式cossin66sincos66的值是0.5。解析：考查行列式运算法则cossin66sincos66=213cos6πsin6πsin6πcos6πcos4.若复数12zi（i为虚数单位），则zzzi26。解析：考查复数基本运算zzziiii2621)21)(21(5.将一个总数为A、B、C三层，其个体数之比为5:3:2。若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取20个个体。解析：考查分层抽样应从C中抽取201021006.已知四棱椎PABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA底面ABCD，且8PA，则该四棱椎的体积是96。[来源:Zxxk.Com]解析：考查棱锥体积公式9683631V7.圆22:2440Cxyxy的圆心到直线3440xy的距离d3。解析：考查点到直线距离公式圆心（1,2）到直线3440xy距离为35424138.动点P到点(2,0)F的距离与它到直线20x的距离相等，则P的轨迹方程为y28x。解析：考查抛物线定义及标准方程定义知P的轨迹是以(2,0)F为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y28x[来源:学科网]9.函数3()log(3)fxx的反函数的图像与y轴的交点坐标是(0,2)。解析：考查反函数相关概念、性质[来源:Zxxk.Com]法一：函数3()log(3)fxx的反函数为33xy，另x=0，有y=-2法二：函数3()log(3)fxx图像与x轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数3()log(3)fxx的反函数的图像与y轴的交点为（0，-2）[来源:学。科。网Z。X。X。K]10.从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率[来源:Zxxk.Com]为351（结果用最简分数表示）。解析：考查等可能事件概率“抽出的2张均为红桃”的概率为513252213CC11.2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入S←Sa。解析：考查算法12.在n行m列矩阵12321234113451212321nnnnnnnnnn中，记位于第i行第j列的数为(,1,2,)ijaijn。当9n时，11223399aaaa45。解析：11223399aaaa1+3+5+7+9+2+4+6+8=4513.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，1(2,1)e、2(2,1)e分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点P，若12OPaebe（a、bR），则a、b满足的一个等式是4ab1。解析：因为1(2,1)e、2(2,1)e是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为xy21，又1,2,5bac双曲线方程为1422yx，12OPaebe=),22(baba，1)(4)22(22baba，化简得4ab114.将直线1:10lxy、2:0lnxyn、3:0lxnyn（*nN，2n）围成的三角形面积记为nS，则limnnS12。解析：B)1,1(nnnn所以BO⊥AC，nS=)1(21)2221(221nnnn[来源:学科网ZXXK]所以limnnS12二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15.满足线性约束条件23,23,0,0xyxyxy的目标函数zxy的最大值是[答]（）（A）1.（B）32.（C）2.（D）3.解析：当直线zxy过点B(1,1)时，z最大值为216.“24xkkZ”是“tan1x”成立的[答]（）（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充分条件.（D）既不充分也不必要条件.[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]解析：14tan)42tan(k，所以充分；但反之不成立，如145tan17.若0x是方程式lg2xx的解，则0x属于区间[答]（）（A）（0，1）.（B）（1，1.25）.（C）（1.25，1.75）（D）（1.75，2）解析：04147lg)47()75.1(,2lg)(ffxxxf由构造函数02lg)2(f知0x属于区间（1.75，2）18.若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC，则△ABC[来源:学|科|网]（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由sin:sin:sin5:11:13ABC及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos222c，所以角C为钝角[来源:学&科&网Z&X&X&K]三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19.（本题满分12分）已知02x，化简：2lgcostan12sinlg2coslg1sin224xxxxx解析：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20．20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.解析：(1)设圆柱形灯笼的母线长为l，则l1.22r(0r0.6)，S3(r0.4)20.48，所以当r0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；(2)当r0.3时，l0.6，作三视图略．21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。已知数列na的前n项和为nS，且585nnSna，*nN(1)证明：1na是等比数列；(2)求数列nS的通项公式，并求出使得1nnSS成立的最小正整数n.解析：(1)当n1时，a114；当n≥2时，anSnSn15an5an11，所以151(1)6nnaa，又a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列；(2)由(1)知：151156nna，得151156nna，从而1575906nnSn(nN*)；由Sn1Sn，得15265n，562log114.925n，最小正整数n15．22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。[来源:学科网ZXXK]若实数x、y、m满足xmym，则称x比y接近m.（1）若21x比3接近0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：22abab比33ab接近2abab；（3）已知函数()fx的定义域,,DxxkkZxR.任取xD，()fx等于1sinx和1sinx中接近0的那个值.写出函数()fx的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.[来源:学_科_网Z_X_X_K]解析：(1)x(2,2)；(2)对任意两个不相等的正数a、b，有222abababab，332ababab，因为22332|2||2|()()0ababababababababab，所以2233|2||2|ababababababab，即a2bab2比a3b3接近2abab；(3)1sin,(2,2)()1|sin|,1sin,(2,2)xxkkfxxxkxxkk,kZ，f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T，函数f(x)的最小值为0，函数f(x)在区间[,)2kk单调递增，在区间(,]2kk单调递减，kZ．23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知椭圆的方程为22221(0)xyabab，(0,)Ab、(0,)Bb和(,0)Qa为的三个顶点.（1）若点M满足1()2AMAQAB，求点M的坐标；（2）设直线11:lykxp交椭圆于C、D两点，交直线22:lykx于点E.若2122bkka，证明：E为CD的中点；（3）设点P在椭圆内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆的两个交点1P、2P满足12PPPPPQ12PPPPPQ？令10a，5b，点P的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点1P、2P满足12PPPPPQ，求点1P、2P的坐标.解析：(1)(,)22abM；(2)由方程组122221ykxpxyab，消y得方程2222222211()2()0akbxakpxapb，因为直线11:lykxp交椭圆于C、D两点，所以0，即222210akbp，设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则212102221201022212xxakpxakbbpykxpakb，由方程组12ykxpykx，消y得方程(k2k1)xp，又因为2221bkak，所以2102222112202221akppxxkkakbbpykxyakb，故E为CD的中点；(3)因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由12PPPPPQ知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率2122bkak，从而得直线l的方程．1(1,)2F，直线OF的斜率212k，直线l的斜率212212bkak，解方程组22112110025yxxy，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)．