2011初三数学竞赛试题

2011年安徽省初中数学联合竞赛试题题号一二三四五总分得分评卷人复评人一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每题均给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1．已知2ba，4)1()1(22abba，则ab的值为（）A．1.B．1.C．21.D．21.2．已知△ABC的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）A．5.B．6.C．7.D．8.3．方程)2)(324(|1|2xx的解的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（）A．5组.B．7组.C．9组.D．11组.5．如图，菱形ABCD中，3AB，1DF，60DAB，15EFG，BCFG，则AE（）A．21.B．6.C．132.D．31.6．已知2111zyx，3111xzy，4111yxz，得分评卷人市（区、县）学校姓名性别报考号_________________________（密封装订线内不要答题）GCBDAFE则zyx432的值为（）A．1.B．23.C．2.D．25.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.1．在△ABC中，已知AB2，322,2ABBC，则A．2．二次函数cbxxy2的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则cb2．3．能使2562n是完全平方数的正整数n的值为．4．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果CEDE43，58AC，D为EF的中点，则AB＝．得分评卷人DFBOACE三、（本题满分20分）已知三个不同的实数cba,,满足3cba，方程012axx和02cbxx有一个相同的实根，方程2x0xa和02bcxx也有一个相同的实根．求cba,,的值．四、（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知60BAD，90ABC，120BCD，对角线BDAC,交于点S，且SBDS2，P为AC的中点．求证：（1）30PBD；（2）DCAD．得分评卷人SDCPAB得分评卷人五、（本题满分25分）已知pnm,,为正整数，nm．设(,0)Am，(,0)Bn，(0,)Cp，O为坐标原点．若90ACB，且2OA＋2OB＋2OC＝3(OA＋OB＋OC）．求图象经过CBA,,三点的二次函数的解析式．得分评卷人…………………………………………………………..（密封装订线内不要答题）………………………………………………………………..（密封装订线内不要答题）2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设7分和0分两档；其余各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．B.2．B.3．C.4．C.5．D.6．C.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．152．2．3．11.4．24.三、（本题满分20分）已知三个不同的实数cba,,满足3cba，方程012axx和02cbxx有一个相同的实根，方程2x0xa和02bcxx也有一个相同的实根．求cba,,的值．解依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设1x是方程①和方程②的一个相同的实根，则,0,01121121cbxxaxx两式相减，可解得bacx11．……………………5分设2x是方程③和方程④的一个相同的实根，则,0,0222222bcxxaxx两式相减，可解得12cbax。所以121xx．……………………10分又方程①的两根之积等于1，于是2x也是方程①的根，则01222axx。又0222axx，两式相减，得1)1(2axa．……………………15分若1a，则方程①无实根，所以1a，故12x．于是1,2cba．又3cba，解得3,2bc．……………………20分四．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知60BAD，90ABC，120BCD，对角线BDAC,交于点S，且SBDS2，P为AC的中点．求证：（1）30PBD；（2）DCAD．证明（1）由已知得90ADC，从而DCBA,,,四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心．……………………5分作BDPM于点M，知M为BD的中点，所以BPM＝12BPD＝60A，从而30PBM．……………………10分（2）作BPSN于点N，则12SNSB．又BDMBDMSBDS21,2，∴SNSBSBSBDMDSMS21232，……………………15分∴Rt△PMS≌Rt△PNS，∴30NPSMPS，又PBPA，所以1152PABNPS，故DCADAC45，所以DCAD．……………………25分五．（本题满分25分）已知pnm,,为正整数，nm．设(,0)Am，(,0)Bn，(0,)Cp，O为坐标原点．若90ACB，且2OA＋2OB＋2OC＝3(OA＋OB＋OC）．求图象经过CBA,,三点的二次函数的解析式．解因为90ACB，ABOC，所以2OCOBOA，即2pmn．由)(3222OCOBOAOCOBOA，得)(3222pnmpnm．…………………5分又)(2)(2222mpnpmnpnmpnm)(2)(22mpnpppnm)(2)(2pnmppnm))((pnmpnm，从而有3pnm，即3pnm．………………………10分又2pmn，故nm,是关于x的一元二次方程0)3(22pxpx①NMSDCPAB2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第一页的两个不相等的正整数根，从而04)]3([22pp，解得31p。又p为正整数，故1p或2p．………………………15分当1p时，方程①为0142xx，没有整数解．当2p时，方程①为0452xx，两根为4,1nm．综合知：2,4,1pnm．………………………20分设图象经过CBA,,三点的二次函数的解析式为)4)(1(xxky，将点)2,0(C的坐标代入得)4(12k，解得21k．所以，图象经过CBA,,三点的二次函数的解析式为22321)4)(1(212xxxxy．………………………25分