2011年慈溪市第一区域初二数学竞赛

2011年慈溪市第一区域初二数学竞赛(考试时间：2011年11月14日，满分100分，时间100分钟)一、选择题（每小题5分，共35分．在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（）．A．精确到十分位，有2个有效数字B．精确到个位，有2个有效数字C．精确到百位，有2个有效数字D．精确到千位，有4个有效数字2.一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为()A．6B．8C．12D．243．如图，利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．根据图中测量的数据可知桌子的高度是（）A．73cmB．74cmC．75cmD．76cm4．用[]x表示不超过x的最大整数，则方程43[]20xx的解的个数为（）A．1.B．2.C．3.D．4.5．某班进行一次标准化测试，试卷由25道选择题组成，每题答对得4分，不答得0分，答错扣1分．那么下列分数中不可能的是（）A．95B．89C．79D．756．直角三角形的三边长是baaba,,，并且ba,都是正整数，则三角形其中一边的长可能是（）Ａ．61Ｂ．71Ｃ．81Ｄ．917.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为mcm，宽为ncm)的盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是（）（第2题）图①图②nm（第7题）80cm①70cm②（第3题）(第11题)ADBEC(A)4ncm(B)4mcm(C)2(m+n)cm(D)4(m－n)cm二、填空题(每小题5分，共35分)8．已知关于x的分式方程211ax的解是非正数，则a的取值范围是.9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为___．10．如图，已知直线1l∥2l∥3l∥4l，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积是．11．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=cm．12．张斌卖起布来了，他自定零售价比批发价高40％．但他发现，由于他所用的米尺不准确，他只赚了39％。张斌卖布时所用尺的1“米”比较标准的1米多了（精确到1.0mm）．13．若ba,均为正数，且2216ba，2294ba，222ba是一个三角形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于（用含a，b的代数式表示）.14．乐乐可喜欢玩积木了，他有很多棱长为1小立方体，通常他会用胶水．．将多个小立方体粘．合起来．．．成为积木．一天，他先用胶水粘出一个看起来像图中所示的积木，但内部是中空，且内部留出尽可能最大的空心空间的积木，然后他将该积木表面涂上颜色后，又按照粘合处把积木拆开成一个个棱长为1的小立方体，再把这些小立方体装在一个不透明的塑料袋中，请问：如果从塑料袋中的这些小立方体中随意的摸出一个立方体恰好只有一面是涂了颜色的概率是．C（第10题）ABD1l3l2l4l第14题三、解答题（共30分）15.（本题8分）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：（1）根据上面多面体模型，你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______________。（2）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由五边形和六边形两种多边形拼接而成，且有60个顶点，每个顶点处都有3条棱，分别求该简单多面体的外表面五边形和六边形的个数。四面体长方体正八面体正十二面体16．（本题10分）观察下列图形：①②③如果按这个规律一直排到第n个图形，请探究下列问题：⑴设第n个图形和第n－1个图形中所有三角形的个数分别为na，1na，问：na和1na它们之间有什么数量关系？请写出这个关系式。⑵请你猜想用含n的代数式来表示na，并证明你的结论。17．（本题12分）阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？问题（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的猜想：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确？问题（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=c，AC=b，BC=a，且ba，若Rt△ABC是奇异三角形，求::abc；问题（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，且AD=BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE=AD，CB=CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．ABCDE(第17题)O参考答案及评分意见一、选择题（每小题5分，共35分．在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）6、解：由题意得：(a－b)︿2＋a︿2＝(a＋b)︿2解得a＝4b∴直角三角形三边分别为：3b，4b，5b当b＝27时，3b＝81故选C81二、填空题(每小题5分，共35分)说明：第8题漏写2a扣2分，12、若设张斌用每米1元的价格买进布，并设L是他所用尺上1“米”的实际长度。张斌认为他是在卖l米长的布时，他实际上卖的是L米，这L米布的进价为上元，售出价为1．40元，所以他赚的利润是(1．40－L)元，从而可以列出下列方程：39/100=(1．40－L)/L于是解出L=1140/139=1．0072。因此实际上，他的l“米”长出了7．2毫米。三、解答题15．（1）顶点数（V）+面数（F）－棱数（E）=2－－－－－－－3分（2）五边形和六边形的个数分别为12和20；－－－－－－－－5分（其中能做出棱数90条，建议给1分，列对一个方程各得1分，解答正确再得2分）16．（1）231nnaa－－－－－－4分（2）132nna－－－－－－－－6分（猜想3分，证明3分）1234567CBCDBCA8910111213141a且2a12587.2mmab5241317．(1)正确－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分(2)3:2:1::cba－－－－－－－－－－－－－4分（能写出2222cab可得1分）（3）①证明出2222AECEAC－－－－3分②105DBC或75DBC－－－－3分（只答对1种给2分）详解参考：15．设五边形有x个，六边形有y个，有题意可知棱数为60×3÷2=90（条）列方程2906529060yxyx解得2012yx答（略）16．解：⑴按题中图形的排列规律可得：an=3an－1+2（3分）⑵由⑴得：an=3an－1+2，an－1=3an－2+2,两式相减得：an－an－1=3（an－1－an－2）①当n分别取3、4、5、…、n时，由①式可得下列（n－2）个等式：a3－a2=3（a2－a1）,a4－a3=3（a3－a2）,a5－a4=3（a4－a3）,…,an－an－1=3（an－1－an－2）.显然an－an－1≠0，以上（n－2）个等式的左右两边分别相乘约去相同的项后得：an－an－1=3n－2(a2－a1)②∵a2－a1=17－5=12,由⑴又可知an－1=31（an－2），将它们代入②式即得：an=2×3n－1.17．在Rt△ABC中，222cba∵0abc∴2222bac，2222cba∴若Rt△ABC为奇异三角形,一定有2222cab∴)(22222baab∴222ab得ab2∵22223aabc∴ac3∴3:2:1::cba(3)①∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=∠ADB=90°在Rt△ACB中，222ABBCAC在Rt△ADB中，222ABBDAD∵点D是半圆ADB的中点∴AD=BD∴AD=BD∴22222ADBDADAB∴2222ADCBAC又∵ADAECECB,∴2222AECEAC∴△ACE是奇异三角形②由①可得△ACE是奇异三角形∴2222AECEAC当△ACE是直角三角形时由（2）可得3:2:1::CEAEAC或1:2:3::CEAEAC（Ⅰ）当3:2:1::CEAEAC时，3:1:CEAC即3:1:CBAC∵90ACB∴30ABC∴602ABCAOC（Ⅱ）当1:2:3::CEAEAC时，1:3:CEAC即1:3:CBAC∵90ACB∴60ABC∴1202ABCAOC∴AOC的度数为12060或．