2011年南京数学学校“紫金杯”高一数学竞赛试题及答案

2011年南京数学学校“紫金杯”数学竞赛试题及答案高一年级考试时间：2011年2月20日上午8:30-10:30说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．一、填空题（本题满分64分，每小题8分，直接将答案写在横线上）1.已知2222212fxxabxaabb是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是解：由已知条件可知，2210ab，函数图象与y轴交点的纵坐标为222aabb。令,scosinba，则22222sincossincos2sin2cs22oaabb.2.已知函数()sin()(0,0)fxAxA的图象与直线(0)yaaA的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则()fx的单调递减区间是解：相邻交点的中点的横坐标分别为3，6，则周期6T，3()sin()3fxAx，又(2)(4)0ff，当3x时，()fx取最大值，即(3)sin()fAA，2,2kkZ，3()sin()32fxAx()fx的单调递减区间为[63,6],kkkZ3.cos1cos2cos3cos89...sin46sin47sin48sin134=解：coscoscos((45)45)22tan(45)sin(45)cos(45)cos(45)22cos1cos2cos3cos89...sin46sin47sin48sin134=2289(tan(44)tan(43)...tan44)22=8922，选A另解：（利用诱导公式配对求和）0coscos(90)cossinsin(45)sin(135)sin(45)sin(45)sincos2sin(45)cos1cos2cos3cos89...sin46sin47sin48sin134cos1cos89cos44cos46cos4589()...()2sin46sin134sin89sin91sin9024.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量(1,2)OA，(2,1)OB，若OPxOAyOB且12xy，则点P所有可能的位置所构成的区域面积是.解：作2OGOA，2OEOB22OFOAOB,MN为,OFEF中点，则P在MNF内，面积为525.设实系数一元二次方程2220xaxb有两个相异实根，其中一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则41ba的取值范围是解：根据题意，设两个相异的实根为12,xx，且12012xx，则1213xxa，120222xxb。于是有31,12ab，也即有111,342214ba。故有143212ba，即取值范围为13,22.6.在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上.AD的长度的最小值为解：设,ADxADE，作△ADE关于DE的对称图形，A的对称点G落在BC上。在△DGB中，1sinsin(233)xx332sin(2)3x当sin(2)13时，即322333minx。7.某学生对函数()2cosfxxx的性质进行研究，得出如下的结论：①函数()fx在,0上单调递增，在0,上单调递减；②点,02是函数()yfx图像的一个对称中心；③函数()yfx图像关于直线x对称；④存在常数0M，使()fxMx对一切实数x均成立．其中正确的结论是.解：()2cosfxxx为奇函数，则函数()fx在,0，0,上单调性相同，所以①错；(0)0,()2ff，所以②错；(0)0,(2)4ff，所以③错；()2cos2cos2fxxxxxx，令2M，所以④对．选④8.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为解：先证|A∪B|≤66，只须证|A|≤33，为此只须证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n∈A，使得2n+2∈B。证明如下：将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个。由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得2n+2∈B。如取A={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}，B={2n+2|n∈A}，则A、B满足题设且|A∪B|≤66。二、解答题（本题满分54分，每小题18分）9.已知向量9(sin,1),(sin,cos)8axbxx，设函数()fxab0,x（1）求()fx的单调区间；（2）若()0fx在区间0,上有两个不同的根,，求cos()的值.解：（1）222991()sincos1coscoscoscos888fxxxxxxx211()(cos)28fxx令costx，当0,3x时，112t，且costx为减函数又211()()28ftt在1,12上时减函数，()fx在0,3上是增函数………5分当,3x时，112t，且costx为减函数又211()()28ftt在11,2上时增函数，()fx在,3上是减函数综上，()fx的单调区间为0,3，,3……………10分（2）由()0fx得，21coscos08xx，即21coscos08xx令costx，则cos,cos是方程2108tt的两个根，从而1coscos1,coscos8……………12分22222222sinsin(1cos)(1cos)1(coscos)coscos=222171(coscos)2coscoscoscos64……………15分17sinsin8，117cos()coscossinsin8………18分FEGABCD另解：由()0fx得，21coscos08xx，即21coscos08xx不妨设2222cos,cos,44则210421042sin1cos,sin,44117cos()coscossinsin810.如图，已知点G是边长为1的正三角形ABC的中心，线段DE经过点G，并绕点G转动，分别交边AB、AC于点D、E；设ADmAB，AEnAC，其中01m，01n．（1）求表达式nm11的值，并说明理由；（2）求ADE面积的最大和最小值，并指出相应的m、n的值．解：（1）如图延长AG交BC与F，G为△ABC的中心F为BC的中点，则有ACABAF2121ABmAD，ACnAE，AFAG32AEnADmAG212123即AEnADmAG3131………………………………3分D、G、E三点共线13131nm故nm11＝3………………………………5分（2）△ABC是边长为1的正三角形，mAD，nAESADE＝43mn由nm11=3，0＜m1,0n1n=13mm,211m即121m。………10分SADE＝43mn＝43132mm设t=m-31则m=t+31（3261t）SADE=43mn=123（t+t91+32）易知tttf91在31,61为减函数，在32,31为增函数。t=31，即23mn，时，tf取得最小值32，即SADE取得最小值93…………………15分又653261ff，tf取得最大值是65，则SADE取得最大值83，此时12,25mn或11,2mn…………………11.线段AB长度为1，在AB上将m个点染成红色，使得对任意实数0d≤1，线段AB上每一个长度为d的闭区间中的红点个数都不大于1+1000d2，求m的最大值．分析要求任意一个长度为d的闭区间中红点个数“不能太多”，而又希望m的值最大，所以红点应在AB上均匀分布且A、B两个端点是红点．通过最简单的情况可以探索m应当满足的条件．………………10分………………18分………………14分